Jamesova věta a problém hranice
The James theorem and the boundary problem
diploma thesis (DEFENDED)
View/ Open
Permanent link
http://hdl.handle.net/20.500.11956/59308Identifiers
Study Information System: 72060
Collections
- Kvalifikační práce [10932]
Author
Advisor
Referee
Kurka, Ondřej
Faculty / Institute
Faculty of Mathematics and Physics
Discipline
Mathematical Analysis
Department
Department of Mathematical Analysis
Date of defense
5. 2. 2013
Publisher
Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakultaLanguage
Czech
Grade
Excellent
Keywords (Czech)
Banachovy prostory, Jamesova hranice, kompaktnost v projektivně generovaných topologiích, problém hranice, slabá kompaktnost, Jamesova větaKeywords (English)
Banach spaces, James boundary, compactness for projectively generated topologies, boundary problem, weak compactness, James theoremNechť G je podmnožinou duálu reálného Banachova prostoru X a F ⊂ G. Pak F je Jamesovou hranicí G, jestliže každý w∗ -spojitý lineární funkcionál na X nabývá v nějakém bodě množiny F svého suprema na G. Ptáme se, zda nor- mově omezená množina v X, která je spočetně kompaktní v topologii generované F, je nutně sekvenciálně kompaktní v topologii generované G. Pozitivní řešení tohoto problému je hlavním obsahem této práce. Jako důsledek je pak získán Jamesův popis slabě kompaktních množin v reálném Banachově prostoru. Díky Eberleinově-Šmuljanově větě vyplyne kladné řešení tzv. problému hranice jako speciální případ pozitivní odpovědi na výše nastolenou otázku. Ta je dále disku- tována v situaci Banachových prostorů nad tělesem komplexních čísel. V takovém případě nemůžeme použít starou definici Jamesovy hranice. Ukazuje se však, že je možné "přirozeným" způsobem redefinovat pojem Jamesovy hranice, a že za této nové definice dokážeme též na naši otázku odpovědět pozitivně. 1
Let G be a subset of the dual of a real Banach space X and F ⊂ G. Then F is a James boundary of G if each w∗ -continuous linear functional on X attains its supremum over G on an element of the set F. We ask whether a norm bounded subset of X which is countably compact for the topology generated by F is ne- cessary sequentially compact for the topology generated by G. The main content of our work is a positive solution to this problem. As a corollary we obtain James characterization of weakly compact subsets of a real Banach space. Due to the Eberlein-Šmuljan theorem a positive solution to the so called boundary problem is shown as a special case of the affirmative answer to the question raised above. The question is further discussed for a case of Banach spaces defined over the complex field. In this case we cannot use the old definition of the James boun- dary but by a "natural" way it is possible to redefine the term James boundary and then we are able to answer our question positively again. 1