Frakcionální Brownův pohyb
Fractional Brownian motion
bachelor thesis (DEFENDED)
View/ Open
Permanent link
http://hdl.handle.net/20.500.11956/55466Identifiers
Study Information System: 76904
Collections
- Kvalifikační práce [10957]
Author
Advisor
Consultant
Šnupárková, Jana
Referee
Kříž, Pavel
Faculty / Institute
Faculty of Mathematics and Physics
Discipline
General Mathematics
Department
Department of Probability and Mathematical Statistics
Date of defense
27. 6. 2013
Publisher
Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakultaLanguage
Czech
Grade
Excellent
Keywords (Czech)
frakcionální Brownův pohyb, nediferencovatelnost trajektorií, si- mulace trajektorií, odhad Hurstova indexuKeywords (English)
fractional Brownian motion, nondifferentiability of paths, simulation of paths, estimator of Hurst parameterFrakcionální Brownův pohyb je netriviálním zobecněním standardního Brownova pohybu (Wienerova procesu). Upouští od nezávislosti přírůstků, závislost je naopak kontrolována Hurstovým indexem. Práce se zabývá důkazy vlastností frakcionálního Brownova pohybu, mezi které patří korelace mezi přírůstky, soběpodobnost a dlouhodobá závislost. Zabývá se také analytickými vlastnostmi jeho trajektorií - hölderovskostí a nediferencovatelností. Práce přináší důkaz tvrzení o nediferencovatelnosti skoro jistě v silnější verzi, než v jaké bývá publikován v pracích o frakcionálním Brownově pohybu. Dále se práce zabývá simulacemi trajektorií frakcionálního Brownova pohybu aplikovatelnými i na obecné gaussovské procesy. Další náplní je bodový odhad Hurstova indexu. 1
Fractional Brownian motion is a nontrivial generalization of standard Brownian motion (Wie- ner process). Definition leaves independence of increments, whereas dependence is controlled by the Hurst index. This paper deals with proofs of fractional Brownian motion's properties such as correlation of increments, selfsimilarity, long-range dependence and analytical pro- perties of its paths, i.e. Hölder continuity and nondifferentiability. Furthermore, the proof of the theorem about nondifferentiability is presented in a stronger form than it is usual in published papers about fractional Brownian motion. Further topics are simulations of the process's paths, suitable even for general Gaussian processes, and point estimators of the Hurst index. 1