Topological and geometrical combinatorics

Abstract

1 Topological and Geometrical Combinatorics Martin Tancer Abstract The task of the thesis is to present several new results on topological methods in combinatorics. The results can be split into two main streams. The first stream regards intersection patterns of convex sets. It is shown in the thesis that finite projective planes cannot be intersection patterns of convex sets of fixed dimension which answers a question of Alon, Kalai, Matoušek and Meshulam. Another result shows that d-collapsibility (a necessary condition on properties of in- tersection patterns of convex sets in dimension d) is NP-complete for recognition if d ≥ 4. In addition it is shown that d-collapsibility is not a necessary condition on properties of intersection patterns of good covers, which disproves a conjecture of G. Wegner from 1975. The second stream considers algorithmic hardness of recognition of simplicial com- plexes embeddable into Rd . The following results are proved: It is algorithmically un- decidable whether a k-dimensional simplicial complex piecewise-linearly embeds into Rd for d ≥ 5 and k ∈ {d−1, d}; and this problem is NP-hard if d ≥ 4 and d ≥ k ≥ 2d−2 3 .

1 Topological and Geometrical Combinatorics Martin Tancer Český abstrakt práce Cílem práce je prezentovat několik nových výsledků v oblasti topologických metod v kombinatorice. Výsledky lze zařadit do dvou hlavních oblastí. První oblast pokrývá průsečíkové struktury konvexních množin. V práci je ukázáno, že konečné projektivní roviny nemůžou být průsečíkovými strukturami konvexních množin pevné dimenze, což odpovídá na otázku Alona, Kalaie, Matouška a Meshu- lama. Dále je ukázáno, že d-kolabovatelnost (nutná podmínka na vlastnosti průsečíkových struktur konvexních množin v dimenzi d) je NP-těžká k rozpoznání pro d ≥ 4. A také je ukázáno, že d-kolabovatelnost není nutnou podmínkou na vlastnosti průsečíkových vzorů dobrých pokrytí, což vyvrací domněnku G. Wegnera z roku 1975. Do druhé oblasti spadá několik výsledků ohledně algoritmické obtížnosti rozpoz- návání simpliciálních komplexů vnořitelných do Rd . Konkrétněji, je algortmicky ne- rozhodnutelné, zda lze k-rozměrný simpliciální komplex po částech lineárně vnořit do Rd , pokud d ≥ 5 a k ∈ {d − 1, d}. Dále je tento problém NP-těžký, pokud d ≥ 4 a d ≥ k ≥ 2d−2 3 .