Interval linear programming

Abstract

Interval linear programming provides a modern approach for handling optimization problems affected by various sources of interval-valued uncertainty. Given lower and upper bounds on the inexact data, the model represents a set of linear programs with coefficients that can be independently perturbed within the respective ranges. The thesis forms a systematic study of the optimality properties of interval linear programs and their solutions. Building on the existing research, we present a compilation of results published by the author, which fill in some of the gaps in the state-of-the-art literature on interval programming. We first examine the effects of standard transformations used in linear programming on the optimal solutions and optimal values of interval programs. Then, we characterize the properties of feasibility, optimality and (un)boundedness in the weak and in the strong sense (i.e. whether a property holds for some or for each scenario) and we analyze computational complexity of the associated decision problems. Further, we focus on the optimal solutions and prove that several related decision problems are (co)NP-hard even for interval programs with a fixed constraint matrix. We also show an integer programming reformulation useful in computing the optimal value range and discuss other concepts...

Intervalové lineární programování představuje moderní přístup k řešení optimalizač- ních úloh s daty zatíženými intervalovou neurčitostí. Úloha intervalového lineárního pro- gramování reprezentuje množinu klasických úloh lineárního programování takových, že koeficienty jednotlivých úloh mohou být nezávisle perturbovány mezi zadanými dolními a horními mezemi. Práce předkládá ucelený přehled vlastností týkajících se optimality v úlohách intervalového lineárního programování a jejich řešeních. Práce kompiluje exis- tující výzkum s důrazem na výsledky publikované autorkou, které přispěly k rozšíření a doplnění stavu poznání problematiky intervalového programování. Nejprve jsou uva- žovány standardní transformace mezi obvyklými formulacemi klasických úloh lineárního programování, pro které je zkoumán jejich vliv na optimální řešení a optimální hodnoty v intervalových úlohách. Dále jsou charakterizovány vlastnosti přípustnosti, optimality a (ne)omezenosti ve slabém resp. silném smyslu (t.j. zda je vlastnost pozorována pro ale- spoň jeden scénář resp. pro všechny scénáře), spolu s charakterizacemi je také zkoumána výpočetní složitost rozhodovacích problémů souvisejících s testováním těchto vlastností. Speciálně, práce ukazuje, že některé z těchto problémů jsou (co)NP-těžké dokonce i pro úlohy intervalového...