Lipschitz Free Spaces and Subsets of Finite-Dimensional Spaces

Abstract

The present thesis is devoted to the geometry of Lipschitz free p-spaces Fp(M) over subsets of finite-dimensional vector spaces, where 0 < p ≤ 1. We solve an open problem and show that if M is an infinite subset of Rd endowed with the H¨older distorted metric | · |α , where 0 < α < 1, then Fp(M, | · |α ) ≃ ℓp for every 0 < p ≤ 1. Moreover, we tackle a question due to Albiac et al. and expound the role of p, d for the Lipschitz constant of a locally coordinatewise affine retraction from (K, | · |1), where K = ⋃︁ Q∈R Q is a union of a collection ∅ ̸= R ⊆ {Rw + R[0, 1]d : w ∈ Zd } of cubes in Rd with side length R > 0, into the Lipschitz free p-space Fp(V, | · |1) over their vertices. The last chapter is then dedicated to the Lipschitz extension problem Lip0(N, Z) → Lip0(M, Z), where N is a doubling subspace of a metric space M and Z is a p-Banach space. As it turns out, the problem can equivalently be stated in terms of a projective relation between the Lipschitz free p-spaces Fp(N) and Fp(M). 1

Práce se zabývá strukturou lipschitzovsky volných p-prostorů Fp(M) nad podmnoži- nami prostorů konečné dimenze, kde 0 < p ≤ 1. Vyřešíme otevřený problém a ukážeme, že pro libovolnou M nekonečnou podmnožinu Rd s metrikou | · |α , kde | · | je norma na Rd a 0 < α < 1, platí Fp(M, | · |α ) ≃ ℓp pro každé 0 < p ≤ 1. Dále zodpovíme otázku au- torů Albiaca et al. a objasníme vztah p, d k lipschitzovské konstantě kanonické, lokálně po souřadnicích afinní retrakce z (K, | · |1), kde K = ⋃︁ Q∈R Q je sjednocením systému ∅ ̸= R ⊆ {Rw + R[0, 1]d : w ∈ Zd } krychlí v Rd o straně délky R > 0, do lipschitzovsky volného p-prostoru Fp(V, | · |1) nad vrcholy těchto krychlí. V poslední kapitole se pak věnujeme existenci operátoru lipschitzovského rozšíření Lip0(N, Z) → Lip0(M, Z), kde N je tzv. doubling podprostor metrického prostoru M a Z je p-Banachův. Jak ukážeme, existence takového operátoru je ekvivalentní jisté projektivní relaci mezi lipschitzovsky volnými p-prostory Fp(N) a Fp(M). 1