Partial representation extension for subclasses of interval graphs

Abstract

Problém rozširovania čiastočných reprezentácii pre intervalové grafy rozhoduje, či je možné reprezentáciu niekoľkých vrcholov rozšíriť na reprezentáciu celého grafu. V tejto práci nadviažeme na výsledok Klavíka a kol., ktorí dokázali, že REPEXT je pre triedy vlastných a jednotkových intervalových grafov rozhodnuteľný v po- lynomiálnom čase. Popíšeme vlastnosti PI± a U± grafov a ich reprezentácií, a predstavíme algorit- mus rozhodujúci REPEXT pre tieto triedy v polynomiálnom čase. V priebehu práce charakterizujeme vzťahy medzi indukovanými K1,3 v grafe a ukážeme že pre každý K1,3 vieme vybrať otvorený vrchol. Tiež definujeme pojmy reprezentácií rovnakých typov zoradenia a lokálne podobných reprezentácií ako aj vynútené a lokálne vynútené uzavreté (otvorené) intervaly. Tieto pojmy sú kľú- čové pri rozširovaní čiastočných reprezentácií tried intervalových grafov, ktoré pri- púšťajú rôzne typy intervalov v jednej reprezentácii. Charakterizujeme vynútené a lokálne vynútené uzavreté intervaly pre U± grafy použitím celočíselných me- dzier v predreprezentácii a skonštruujeme spodné odhady pre najpravejšie konce komponentov v polynomiálnom čase.

The problem of extending partial representations for an interval graph asks, whether it is possible to extend a given representation of some vertices to a valid representation of the entire graph. In this thesis we extend the recent result of Klavík et al. who proved REPEXT can be decided for proper and unit interval graphs in polynomial time. We describe properties of PI± and U± graphs and their representations and present algorithms deciding REPEXT for these classes in polynomial time. In the process, we characterize relations between the K1,3's in a graph and show that we can decide the open vertex of every K1,3. We also define notions of representation of the same order type and locally similar representations as well as intervals forced and locally forced to be closed (open) that are essential for extending partial representations when multiple types of intervals can occur in the same representation. We characterize intervals forced and locally forced to be closed (open) in a U± graph using integer gaps in the pre-representation and we construct lower bounds for the rightmost endpoint of a component in polynomial time.