Kvaterniónové algebry a jednotky

Abstract

Cieľom tejto práce je štúdium hamiltonovských kvaterniónov H a kvaterniónových algebier. Prvé dve kapitoly sú založené na článku Quaternion algebras od K. Conrada a zvyšok na knihe Quaternion algebras od J. Voighta. Na začiatku sa venujeme vybudova- niu teórie ohľadom kvaterniónov, kvaterniónových algebier a študovaniu ekvivalentných podmienok pre určovanie rozštiepiteľných a nerozštiepiteľných kvaterniónových algebier. Následne, až na izomorfizmus, charakterizujeme kvaterniónové algebry nad niekoľkými rôznymi poľami, ako R, C alebo Fp. V tretej kapitole sa práca zameriava na rády v kva- terniónových algebrách, predovšetkým na Lipschitzov a Hurwitzov rád. Štvrtá kapitola je venovaná vzťahu medzi jednotkovými kvaterniónmi a rotáciami v R3 , vďaka ktorému sa nám podarí charakterizovať konečné podgrupy H1 alebo aj H× . Tento výsledok následne použijeme v poslednej kapitole, kde sa zameriame hlavne na problém charakterizácie grúp jednotiek v rádoch v hamiltonovských kvaterniónoch. 1

The aim of this work is to study the Hamiltonian quaternions H and quaternion alge- bras. The first two chapters are based on the article Quaternion algebras by K. Conrad and the rest on the book Quaternion algebras by J. Voight. In the beginning, we mainly develop the theory about quaternions, quaternion algebras and study equivalent condi- tions for being a split or non-split quaternion algebra. After that, we also characterize, up to isomorphism, quaternion algebras over several fields such as R, C or Fp. In the third chapter, the thesis deals with orders in quaternion algebras, especially Lipschitz and Hurwitz order. The fourth chapter is dedicated to the relationship between unit quaternions and rotations in R3 , thanks to which we can characterize finite subgroups of H1 , or equivalently H× . This result will be used in the last chapter, where we are mainly focused on the problem of characterization of the group of units in orders in Hamiltonian quaternions. 1