Komplexní čísla: zavedení a geometrické aplikace

Abstract

Práce popisuje zavedení komplexních čísel ve výuce na střední škole, upozorňuje na problémy, které jsou s jejich zavedením spojeny a zmiňuje možné využití komplexních čísel zejména v geometrii. Po počátečních mo- tivačních úvahách následuje krátké zasazení komplexních čísel do historického kontextu. Při zavádění komplexních čísel přihlížíme k didaktickým aspektům a upozorňujeme na možné problémy výkladu. Kapitolu doplňuje zmínka o číslech hyperkomplexních (kvaterniony, oktety). Dále ukazuji, jak je možné geometricky znázornit operace s komplexními čísly, konkrétně sčítání, odečítání, násobení a dělení. Je zde také popsáno, jak lze Moivreovu větu interpretovat pomocí otáčení. Následující částí je analytická geometrie budovaná pomocí komplexních čísel se zaměřením na bod, přímku, kružnici, kruh, elipsu a trojúhelník. Dále hledáme druhou odmocninu z komplexního čísla a řešení kvadratické rovnice graficky. Na závěr dokazujeme Napoleonovu větu a exis- tenci Feuerbachovy kružnice pomocí komplexních čísel. 1

The thesis describes the introduction of complex numbers in teaching at secondary school, highlights problems that are associated with their introduction and mentions the possible use of complex numbers, espe- cially in geometry. The initial motivational considerations are followed by a brief introduction of complex numbers into the historical context. When introducing complex numbers, we take into account didactic aspects and draw attention to possible problems of interpretation. The chapter is sup- plemented with a reference to hyper complex numbers (quaternions, octets). Furthermore I show how it is possible to geometrically illustrate operations with complex numbers, namely addition, subtraction, multiplication and di- vision. The thesis also describes how Moivre's theorem can be interpreted by rotation. The following part is an analytical geometry built with complex numbers, focusing on point, line, circle, ellipse, and triangle. Next, we search for the square root of the complex number and the solution of the quadratic equation graphically. Finally, we prove Napoleon's theorem and existence of Feuerbach's circle using complex numbers. 1