Rychlost konvergence tlumeného kmitání
Speed of convergence of damped oscilations
bakalářská práce (OBHÁJENO)
Zobrazit/ otevřít
Trvalý odkaz
http://hdl.handle.net/20.500.11956/101728Identifikátory
SIS: 190791
Kolekce
- Kvalifikační práce [11016]
Autor
Vedoucí práce
Oponent práce
Pražák, Dalibor
Fakulta / součást
Matematicko-fyzikální fakulta
Obor
Obecná matematika
Katedra / ústav / klinika
Katedra matematické analýzy
Datum obhajoby
12. 9. 2018
Nakladatel
Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakultaJazyk
Čeština
Známka
Velmi dobře
Klíčová slova (česky)
tlumené kmitání, rychlost konvergence, ODR druhého řáduKlíčová slova (anglicky)
damped oscillation, speed of convergence, second order ODEStudujeme obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu u′′(t) + f(u′(t), t)u′(t) + |u|βu = 0, kde β je kladná konstanta a f kladná funkce. Tato rovnice fyzikálně popisuje jednorozměrné tlumené kmitání s časově proměnlivým od- porem prostředí. Převedeme studovanou rovnici na systém dvou rovnic prvního řádu. To nám umožní dokázat existenci některých pozitivně invariantních množin, pomocí čehož odvodíme chování trajektorií určitých řešení tohoto systému. Díky tomu budeme schopni udělat odhady na rychlost poklesu energie pro neoscilující řešení. Dále v mno- hých případech dokážeme určit, kdy bude řešení systému oscilovat pro libovolně velké časy, nebo naopak kdy oscilace přestanou. 1
We study solutions convergence of ordinary differential second order equation u′′(t)+ f(u′(t), t)u′(t) + |u|βu = 0, where β is a positive constant and f is a positive function. Physical meaning of this equation is one-dimensional damped oscilation with time va- riable environment resistance. We convert this studied function to the system of two equations of the first order. It enables us to proof the existence of some positively in- variant sets, hence we derive trajectory behaviour of solutions of this system. Thanks to that we will be able to do speed estimates of energy decrease for non-oscillation solution. Then in many cases we will be able to establish when the system solution for each time will oscillate or on the contrary when the oscillations will stop. 1