Aproximace a numerická realizace kontaktních úloh s daným třením a koeficientem tření, závislým na řešení v 3D.

Abstract

V práci se zabýváme trojrozměrnými kontaktními úlohami s daným třením a koeficientem tření závislým na řešení. Slabou formulaci těchto problémů danou implicitní variační nerovnicí eliptického typu převedeme na úlohu pevného bodu jistého zobrazení z prostoru stop na kontaktní části do sebe. s využitím této formulace dokážeme existenci alespoň jednoho řešení dané úlohy za předpokladu, že koeficient tření je vyjádřen kladnou, spojitou a omezenou funkcí. Za dodatečného předpokladu lipschitzovské spojitosti této funkce s malou konstantou lipschitzovskosti ukážeme dokonce jednoznačnost řešení. Úlohu diskretizujeme pomocí metody konečných prvků. V diskrétním případě provedeme podobné studium existence i jednoznačnosti řešení jako ve spojitém případě a navíc vyšetříme konvergenci řešení diskrétních modelů. Jako prostředek pro hledání pevných bodů použijeme metodu postupných aproximací. Každý její iterační krok vede na řešení kontaktní úlohy s daným třením a koeficientem, který na řešení nezávisí. Pro tuto úlohu pak uvedeme smíšenou variační formulaci, z níž odvodíme duální formulaci použitou ve výsledné numerické metodě. Ukážeme numerické výsledky několika modelových příkladů.

Three-dimensional contact problems with given friction and a coefficient of friction depending on the solution are studied. By means of the fixed-point approach, the existence of at least one solution is proved provided that the coefficient of friction F is represented by a continuous, positive and bounded function. Under an additional assumption, namely the Lipschitz continuity of F with a sufficiently small modulus of the Lipschitz continuity, the uniqueness of the solution is shown. The problem is discretized by the finite element method. The existence and uniqueness of the solution to the discrete problems are investigated in a similar way as it has been done in the continuous setting. Convergence of solutions to the discrete models in an appropriate sense is established. The method of successive approximations is used for finding fixed-points. Each iterative step leads to a contact problem with given friction and a coefficient of friction which does not depend on the solution. We introduce a mixed variational formulation of this problem from which the dual formulation used in computations can be derived. Numerical results of model examples are presented.