Invariant differential operators for 1-graded geometries

Abstract

In this thesis we classify singular vectors in scalar parabolic Verma modules for those pairs (sl(n, C), p) of complex Lie algebras where the homogeneous space SL(n, C)/P is the Grassmannian of k-planes in Cn . We calculate cohomology of nilpotent radicals with values in certain unitarizable highest weight modules. According to [BH09] these modules have BGG resolutions with weights determined by this cohomology. Such resolutions induce complexes of invariant differential operators on sections of associated bundles over Hermitian symmetric spaces. We describe formal completions of unitarizable highest weight modules that one can use to modify method from [CD01] that constructs sequences of differential operators over any 1-graded (aka almost Hermitian) geometry. We suggest uniform description of octonionic planes that could serve as a basis for better understanding of the exceptional Hermitian symmetric space for group E6.

V této práci klasifikujeme singulární vektory ve skalárních parabolických Verma modulech pro ty páry komplexních Lieových algeber (sl(n, C), p) kde homogen- ní prostor SL(n, C)/P tvoří Grassmanián k-rovin v Cn . Spočteme kohomologii nilpotentního radikálu s hodnotami v některých unitarizovatelných modulech s nejvyšší vahou. Ty mají dle [BH09] BGG rezolventu, jejíž váhy jsou určené těmito kohomologiemi. Takovéto BGG rezolventy indukují komplexy invariantních diferenciálních operátorů na sekcích asociovaných bundlů nad Hermitovsky symet- rickými prostory. Popíšeme formální zúplnění unitarizovatelných modulů s nejvyšší vahou, díky kterému lze použít metodu konstrukce posloupnosti diferenciálních operátorů z článku [CD01] na obecných 1-gradovaných (aka skoro Hermitovských) geometriích. Načrtneme uniformní popis oktonionických rovin, který může být základem k lepšímu pochopení výjimečného Hermitovsky symetrického prostoru grupy E6.