Tilting theory of commutative rings

Abstract

The thesis compiles my contributions to the tilting theory, mainly in the set- ting of a module category over a commutative ring. We give a classification of tilting classes over an arbitrary commutative ring in terms of data of geometrical flavor - certain filtrations of the Zariski spectrum. This extends and connects the results known previously for the noetherian case, and for Prüfer domains. Also, we show how the classes can be expressed using the local and Čech homology the- ory. For 1-tilting classes, we explicitly construct the associated tilting modules, generalizing constructions of Fuchs and Salce. Furthermore, over any commuta- tive ring we classify the silting classes and modules. Amongst other results, we exhibit new examples of cotilting classes, which are not dual to any tilting classes - a phenomenon specific to non-noetherian rings. 1

Práce shrnuje mé příspěvky k vychylující teorii, především pro kategorii modulů nad komutativním okruhem. V práci klasifikujeme vychylující třídy nad libo- volným komutativním okruhem pomocí údajů s geometrickou příchutí - jisté filtrace Zariskiho spektra. Tento výsledek zobecňuje a dává jednotný rámec výsledkům do té doby známým v noetherovském případě a pro Prüferovské obory. Dále ukážeme, jak lze tyto třídy vyjádřit pomocí lokální či Čechovy homolog- ické teorie. Pro 1-vychylující třídy zkonstruujeme explicitně příslušné vychylující moduly, čímž zobecníme konstrukci Fuchse a Salceho. Navíc, nad libovolným komutativním okruhem popíšeme silting třídy i moduly. Mezi dalšími výsledky zmiňme nové příklady kovychylujících tříd, které nejsou duální žádné vychylující třídě - fenomén specifický pro nenoetherovské okruhy. 1