Extension Properties of Graphs and Structures

Abstract

Extension Properties of Graphs and Structures Pavel Klavík The main motivation for graph drawing and geometric representations is finding ways to visualize graphs efficiently to make their structure as understandable as possible. In this thesis, we are concerned with structural properties which are implied for graphs having certain geometric representations. We study two types of geometric representations: inter- section representations in which the vertices are represented by geometric sets while the edges are encoded by their intersections, and planar embeddings of planar graphs which are drawing of graphs into the plane without crossing edges. The existence of geometric representations can be used to deduce additional information about graphs. The main idea of this thesis is to ask what extra information can be deduced from the structure of all possible geometric representations. In Part I, we study the partial representation extension problems for intersection rep- resentations. Aside from the graph, the input also gives a partial representation, which prescribes a representation of an induced subgraph. We ask whether this partial repre- sentation can be extended to a full representation of the input graph without altering the predrawn sets. I introduced this problem in 2010 in my Bachelor's thesis. We...

Rozšiřovací vlastnosti grafů a struktur Pavel Klavík Hlavní motivace pro studium kreslení grafů a geometrických reprezentací je najít způ- soby, jak vizualizovat grafy efektivně, aby jejich struktura byla tak srozumitelná, jak je to jenom možné. V této práci se zaměřujeme na strukturální vlastnosti, které vyplývají z toho, že grafy mají určitý druh geometrických reprezentací. Studujeme dva druhy geo- metrických reprezentací: Průnikové reprezentace, ve kterých jsou vrcholy reprezentovány geometrickými množinami, zatímco hrany jsou kódovány jejich průniky, a rovinná vnoření rovinných grafů, což jsou kreslení grafů do roviny bez křížení hran. Z existence geomet- rické reprezentace lze vyvodit dodatečné informace o grafu. Hlavní myšlenka této práce je se ptát, jaká další informace se dá vyvodit ze struktury všech možných geometrických reprezentací. V části I studujeme problém rozšiřování částečných reprezentací pro průnikové reprezen- tace. Vedle grafu obsahuje vstup také částečnou reprezentaci, která předepisuje reprezentaci indukovaného podgrafu. Ptáme se, zdali je možné tuto částečnou reprezentaci rozšířit na plnou reprezentaci vstupního grafu, aniž bychom pozměnili předepsané množiny. Tento pro- blém jsem uvedl v roce 2010 ve své bakalářské práci. Popisujeme přehled známých výsledků pro řadu grafových tříd....