Bruhat-Tits buildings

Abstract

Bruhatovy-Titsovy budovy jsou základním nástrojem ke studiu lineárních al- gebraických grup nad lokálními ne-archimédovskými tělesy. Cíl této práce je před- stavit budovy pro případ SLd(Qp) a explicitně popsat některé jejich geometrické a kombinatorické vlastnosti - jedná se o simpliciální komplexy. Poté co v Kapi- tole 1 uvedeme obecnou konstrukci, se detailně zaměříme na případ SL2(Qp). Se simplexy pracujeme pomocí jistých maticových reprezentantů. Budovu explicitně popíšeme a dokážeme vzorec pro grafovou vzdálenost. V Kapitole 3 se zabý- váme obecným případem SLd(Qp), d ≥ 2. Zavádíme zde nový koncept formulí vzdálenosti. V Kapitole 4 dokazujeme některá tvrzení, která platí pro Bruhatovy- Titsovy budovy obecně. V Kapitole 5 se zabýváme výpočtem takzvané galerijní vzdálenosti dvou simplexů. V poslední kapitole zobecňujeme formule vzdálenosti na případ 3 vrcholů. 1

Bruhat-Tits buildings are a fundamental concept in the study of linear algebraic groups over general fields. The general goal of this thesis is to introduce buildings in the basic case of SLd(Qp) and to explicitly describe some of their geometrical and combinatorial properties - building are abstract simplicial complexes. After the general construction (Chapter 1) we focus in detail to the case of SL2(Qp). We work with simplices using certain matrix representatives. We explicitly describe the building and give a formula for graph distance. In Chapter 3 we consider the general case SLd(Qp), d ≥ 2. There we introduce a new concept of distance formulas. In Chapter 4 we prove some theorems which are satisfied by buildings in general. Chapter 5 studies the problem of determining so-called gallery distance of two simplices. In the last Chapter 6 we generalize the distance formulas to the case of three vertices. 1