Analýza matematického modelu přestavby kosti a cévní stěny

Abstract

Kost je dynamická tkáň, která se po celý život obměňuje. Tomuto složitému bi- ologickému procesu, zajišt'ujícímu mimo jiné adaptaci kosti na mechanickou zátěž, říkáme remodelace kosti. Právě pro onu složitost nebyl dosud plně biomecha- nicky popsán, bylo ovšem formulováno několik zjednodušujících matematických modelů. Tato práce si klade za cíl představit a zanalyzovat jeden z aktuálních mo- delů kostní přestavby. Tento model popisuje remodelaci pomocí pěti chemických rovnic. Použitím biotermodynamických zákonů odvodíme z těchto rovnic sou- stavu obyčejných diferenciálních rovnic. Následně provedeme jejich kvalitativní analýzu, přičemž pozornost obrátíme především k existenci, jednoznačnosti a sta- bilitě stacionárního řešení. V závěru práce nastíníme vliv mechanické zátěže na remodelaci a také souvislost s přestavbou cévní stěny. 1

Bone is a tissue that is constantly being renewed during the whole life. This complex biological process, controling among others adaptation to environ- mental loads, is called bone remodelling. It is due to this complexity that the process hasn't been fully biomechanically described yet. However, sev- eral mathematical models of bone remodelling have been conjectured, one of which we will introduce and analyze in this thesis. The model describes bone metabolism by five chemical equations. Using the biothermodynamical laws we will derive from these equations a system of ordinary differential equations. Then we will effectuate a qualitative analysis, while focusing on existence, uniqueness and stability of a stationary solution. Finally the im- pact of the mechanical loading on bone remodelling will be outlined.We will also mention the relation with vascular remodelling. 1