Absorption cascades of one-dimensional diffusions

Abstract

Je známe, že čas, kým proces množenia a zániku dosiahne určitú úroveň, je rozdelený ako súčet nezávislých exponenciálnych premenných. Diaconis, Miclo a Swart podali pravdepodobnostný dôkaz tejto skutočnosti tým, že našli coupling tohto procesu s procesom rastu tak, že obidva procesy dosiahnu danú úroveň v rovnakom čase. Použitím ich techník nájdeme jednorozmernú difúziu a proces rastu, ktorých prechodové pravdepodobnosti sú "prepletené". Z tohto vzťahu dokážeme, že čas absorpcie difúzie je rovnako rozdelený ako čas explózie procesu rastu, hoci sa nám nepodarí nájsť coupling tak, aby sa oba časy rovnali skoro jiste. Toto nám dá pravdepodobnostný dôkaz známeho faktu, že čas absorpcie difúzie je rozdelený ako súčet nezávislých exponenciálnych náhodných veličín. Nájdeme tiež coupling podobnej difúzie s tým istým procesom rastu, ktorý je ale zastavený v ľubovoľnej úrovni. To nám umožní interpretovať správanie difúzie ako počiatočnú neochotu k absopcii, ktorá sa časom zmení na silnú potrebu k absorpcii. 1

It is known that the time until a birth and death process reaches certain level is distributed as a sum of independent exponential random variables. Diaconis, Miclo and Swart gave a probabilistic proof of this fact by coupling the birth and death process with a pure birth process such that the two processes reach the given level at the same time. We apply their techniques to find a one-dimensional diffusion and a pure birth process whose transition probabilities are related by an intertwining relation. From this we prove that the time to absorption of the diffusion has the same distribution as the time to explosion of the pure birth process, although we do not manage to couple them such that the two times are a. s. equal. This gives us a probabilistic proof of the known fact that the time to absorption of the diffusion is distributed as a sum of independent exponential random variables. We also find a coupling of a similar diffusion with the same pure birth process, which is now stopped at an arbitrary level. This allows us to interpret the diffusion as being initially reluctant to get absorbed, but later getting more and more compelled to get absorbed. 1