Fractional Brownian Motion in Finance

Abstract

Tato práce se zabývá stochastickým integrálem vůči gaussovským procesům, které se dají vyjádřit ve tvaru Bt = t 0 K(t, s)dWs, kde W je Wienerův proces a K je kvadraticky integrovatelné volterrovské jádro. Tyto procesy představují zo- becnění frakcionálního Brownova pohybu. Protože se nejedná o semimartingaly, je nutné k zavedení stochastického integrálu použít jiné metody, než poskytuje Itôův kalkulus. V této práci jsou popsány dvě metody: za předpokladu dostatečné regularity integrandu a procesu B lze definovat integrál po trajektoriích zo- becněním Lebesgue-Stieltjesova integrálu. Druhý způsob využívá metody Mal- liavinova počtu a integrál definuje jako adjungovaný operátor k Malliavinově derivaci. Jako aplikace obou metod je v závěru práce řešena stochastická dife- renciální rovnice dSt = µStdt + σStdBt, jejíž pomocí se modeluje chování ceny akcie. Následuje stručná diskuse vlastností tohoto modelu. 1

This thesis deals with the stochastic integral with respect to Gaussian processes, which can be expressed in the form Bt = t 0 K(t, s)dWs. Here W stands for a Brownian motion and K for a square integrable Volterra kernel. Such processes generalize fractional Brownian motion. Since these processes are not semimartin- gales, Itô calculus cannot be used and other methods must be employed to define the stochastic integral with respect to these proceses. Two ways are considered in this thesis. If both the integrand and the process B are regular enough, it is possible to define the integral in the pathwise sense as a generalization of Lebesgue-Stieltjes integral. The other method uses the methods of Malliavin cal- culus and defines the integral as an adjoint operator to the Malliavin derivative. As an application, the stochastic differential equation dSt = µStdt + σStdBt, which is used to model price of a stock, is solved. Implications of such a model are briefly discussed. 1