dc.contributor.advisor | Růžička, Pavel | |
dc.creator | Paták, Pavel | |
dc.date.accessioned | 2018-11-30T13:20:14Z | |
dc.date.available | 2018-11-30T13:20:14Z | |
dc.date.issued | 2015 | |
dc.identifier.uri | http://hdl.handle.net/20.500.11956/79720 | |
dc.description.abstract | Using algebra in geometry Pavel Paták Department: Department of Algebra Supervisor: Mgr. Pavel Růžička, Ph.D., Department of Algebra 1 Abstract In this thesis, we develop a technique that combines algebra, algebraic topology and combinatorial arguments and provides non-embeddability results. The novelty of our approach is to examine non- embeddability arguments from a homological point of view. We illustrate its strength by proving two interesting theorems. The first one states that k-dimensional skeleton of b 2k+2 k + k + 3 -dimensional simplex does not embed into any 2k-dimensional manifold M with Betti number βk(M; Z2) ≤ b. It is the first finite upper bound for Kühnel's conjecture of non-embeddability of simplices into manifolds. The second one is a very general topological Helly type theorem for sets in Rd : There exists a function h(b, d) such that the following holds. If F is a finite family of sets in Rd such that ˜βi ( G; Z2) ≤ b for any G F and every 0 ≤ i ≤ d/2 − 1, then F has Helly number at most h(b, d). If we are only interested whether the Helly numbers are bounded or not, the theorem subsumes a broad class of Helly types theorems for sets in Rd . Keywords: Homological Non-embeddability, Helly Type Theorem, Kühnel's conjecture of non-embeddability of ske- leta of simplices into manifolds | en_US |
dc.description.abstract | Využití algebry v geometrii Pavel Paták Katedra: Katedra algebry Vedoucí disertační práce: Mgr. Pavel Růžička,Ph.D., Katedra algebry 1 Abstrakt V této práci jsme vyvinuli metodu, která kombinuje algebru, algebraickou topologii a kombinatoriku a vede k výsledkům o nevnořitelnosti. Klíčovou novinkou našeho přístupu je studium nevnořitelnostních argumentů z homologického úhlu pohledu. Sílu tohoto přístupu demonstrujeme dokázáním dvou nových zajímavých vět. Prvně ukážeme, že k-dimenzionální skeleton b 2k+2 k + k + 3 -dimenzionálního simplexu nejde vno- řit do variety M dimenze 2k s Bettiho číslem βk(M; Z2) ≤ b. Jde o první konečný horní odhad pro Kühnelovu domněnku o nevnořitelnosti simplexů do variet. Poté dokážeme obecnou větu Hellyho typu pro množiny v Rd : Existuje funkce h(b, d) taková, že kdykoli máme konečný systém F množin v Rd takový, že ˜βi ( G; Z2) ≤ b pro všechny G F a všechna 0 ≤ i ≤ d/2 −1, pak Hellyho číslo systému F je nejvýše h(b, d). Pokud nás pouze zajímá, zda je Hellyho číslo omezené, tato věta shrnuje širokou třídu dřívějších vět Hellyho typu pro množiny v Rd . Klíčová slova: Homologická nevnořitelnost, věty Hellyho typu, Kühnelova domněnka | cs_CZ |
dc.language | English | cs_CZ |
dc.language.iso | en_US | |
dc.publisher | Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakulta | cs_CZ |
dc.subject | Homological non-embeddability | en_US |
dc.subject | Helly Type Theorems | en_US |
dc.subject | Kühnel's conjecture of non-embeddability of skeleta of simplices into manifolds | en_US |
dc.subject | Homologická nevnořitelnost | cs_CZ |
dc.subject | věty Hellyho typu | cs_CZ |
dc.subject | Kühnelova domněnka o nevnořitelnosti do variet | cs_CZ |
dc.title | Using algebra in geometry | en_US |
dc.type | dizertační práce | cs_CZ |
dcterms.created | 2015 | |
dcterms.dateAccepted | 2015-11-03 | |
dc.description.department | Katedra algebry | cs_CZ |
dc.description.department | Department of Algebra | en_US |
dc.description.faculty | Faculty of Mathematics and Physics | en_US |
dc.description.faculty | Matematicko-fyzikální fakulta | cs_CZ |
dc.identifier.repId | 85690 | |
dc.title.translated | Využití algebry v geometrii | cs_CZ |
dc.contributor.referee | Šmíd, Dalibor | |
dc.contributor.referee | Blagojevic, Pavle | |
dc.identifier.aleph | 002051416 | |
thesis.degree.name | Ph.D. | |
thesis.degree.level | doktorské | cs_CZ |
thesis.degree.discipline | Algebra, teorie čísel a matematická logika | cs_CZ |
thesis.degree.discipline | Algebra, Theory of Numbers and Mathematical Logic | en_US |
thesis.degree.program | Mathematics | en_US |
thesis.degree.program | Matematika | cs_CZ |
uk.thesis.type | dizertační práce | cs_CZ |
uk.taxonomy.organization-cs | Matematicko-fyzikální fakulta::Katedra algebry | cs_CZ |
uk.taxonomy.organization-en | Faculty of Mathematics and Physics::Department of Algebra | en_US |
uk.faculty-name.cs | Matematicko-fyzikální fakulta | cs_CZ |
uk.faculty-name.en | Faculty of Mathematics and Physics | en_US |
uk.faculty-abbr.cs | MFF | cs_CZ |
uk.degree-discipline.cs | Algebra, teorie čísel a matematická logika | cs_CZ |
uk.degree-discipline.en | Algebra, Theory of Numbers and Mathematical Logic | en_US |
uk.degree-program.cs | Matematika | cs_CZ |
uk.degree-program.en | Mathematics | en_US |
thesis.grade.cs | Prospěl/a | cs_CZ |
thesis.grade.en | Pass | en_US |
uk.abstract.cs | Využití algebry v geometrii Pavel Paták Katedra: Katedra algebry Vedoucí disertační práce: Mgr. Pavel Růžička,Ph.D., Katedra algebry 1 Abstrakt V této práci jsme vyvinuli metodu, která kombinuje algebru, algebraickou topologii a kombinatoriku a vede k výsledkům o nevnořitelnosti. Klíčovou novinkou našeho přístupu je studium nevnořitelnostních argumentů z homologického úhlu pohledu. Sílu tohoto přístupu demonstrujeme dokázáním dvou nových zajímavých vět. Prvně ukážeme, že k-dimenzionální skeleton b 2k+2 k + k + 3 -dimenzionálního simplexu nejde vno- řit do variety M dimenze 2k s Bettiho číslem βk(M; Z2) ≤ b. Jde o první konečný horní odhad pro Kühnelovu domněnku o nevnořitelnosti simplexů do variet. Poté dokážeme obecnou větu Hellyho typu pro množiny v Rd : Existuje funkce h(b, d) taková, že kdykoli máme konečný systém F množin v Rd takový, že ˜βi ( G; Z2) ≤ b pro všechny G F a všechna 0 ≤ i ≤ d/2 −1, pak Hellyho číslo systému F je nejvýše h(b, d). Pokud nás pouze zajímá, zda je Hellyho číslo omezené, tato věta shrnuje širokou třídu dřívějších vět Hellyho typu pro množiny v Rd . Klíčová slova: Homologická nevnořitelnost, věty Hellyho typu, Kühnelova domněnka | cs_CZ |
uk.abstract.en | Using algebra in geometry Pavel Paták Department: Department of Algebra Supervisor: Mgr. Pavel Růžička, Ph.D., Department of Algebra 1 Abstract In this thesis, we develop a technique that combines algebra, algebraic topology and combinatorial arguments and provides non-embeddability results. The novelty of our approach is to examine non- embeddability arguments from a homological point of view. We illustrate its strength by proving two interesting theorems. The first one states that k-dimensional skeleton of b 2k+2 k + k + 3 -dimensional simplex does not embed into any 2k-dimensional manifold M with Betti number βk(M; Z2) ≤ b. It is the first finite upper bound for Kühnel's conjecture of non-embeddability of simplices into manifolds. The second one is a very general topological Helly type theorem for sets in Rd : There exists a function h(b, d) such that the following holds. If F is a finite family of sets in Rd such that ˜βi ( G; Z2) ≤ b for any G F and every 0 ≤ i ≤ d/2 − 1, then F has Helly number at most h(b, d). If we are only interested whether the Helly numbers are bounded or not, the theorem subsumes a broad class of Helly types theorems for sets in Rd . Keywords: Homological Non-embeddability, Helly Type Theorem, Kühnel's conjecture of non-embeddability of ske- leta of simplices into manifolds | en_US |
uk.file-availability | V | |
uk.publication.place | Praha | cs_CZ |
uk.grantor | Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakulta, Katedra algebry | cs_CZ |
thesis.grade.code | P | |
dc.identifier.lisID | 990020514160106986 | |