Idempotentní ideály v celočíselné grupové algebře symetrické grupy

Abstract

V této práci se zabývám hypotézou, že každý oboustranný idempotentní ideál v grupovém okruhu ZSn, generuje-li v QSn vlastní ideál, jedná se nutně o takzvaný augmentační ideál. Platnost hypotézy by dávala oslabenou verzi faktu, že v případě řešitelné grupy G, nemá ZG žádný vlastní oboustranný idempotentní ideál. Nejprve popíši jak idempotentní ideály v ZSn spočítat, a následně provedu výpočet pro S5 a S7. V prvním případě bude hypotéza platit, v druhém však už nikoli. V teoretické části nejprve přejdu k lokál- nímu pohledu a popíši idempotentní ideály v Z(p)Sn, pro p prvočísla dělící řád grupy Sn, jako stopové ideály projektivních Z(p)Sn-modulů. Dále se budu zabývat funktorem −⊗Z(p) Q : Proj(Z(p)Sn) → Mod(QSn), ten popíši v řeči Grothendieckových grup maticí E. Matice E se ukáže býti transpo- novanou dekompoziční maticí, kterou umíme spočítat pomocí Braeurových charakterů. 1

This thesis concerns following hyphotesis: whenever I is two-sided idem- potent ideal in group ring ZSn, such that IQ is non-trivial ideal of QSn, IQ has to be so called augmentation ideal. The vylidity of this hypothesis would give us weak version of the fact that in the case of solvable group G, there are no two-sided non-trivial idempotent ideals in ZG. At first I desctibe methodt how to calculate idempotent ideals in ZSn and then show that hy- pothesis holds in the case of S5, but fail in the case of ZS5. In theoretic part, I firstly switch to local point of view and describe two-sided idempo- tent ideals in Z(p)Sn, for primes p dividing order of group Sn, as trace ide- als of finitely generated projective Z(p)Sn-modules. Next, I describe functor −⊗Z(p) Q : Proj(Z(p)Sn) → Mod(QSn) using the language of Grothendiecks groups by matrix E. Matrix E shows to be transposition of decomposition matrix, which we can calculate using Braeur's character. 1