Diferenciální geometrie a dynamika

Abstract

Cílem této práce je představení matematických pojmů a technik z oblasti diferenciální geometrie a Lieových grup, a jejich následné použití ve fyzice. Výběr této dvojice partií matematiky není náhodný, jedná se o základní a úzce provázané stavební kameny teoretické fyziky. Práce je rozdělena do dvou kapitol. Každá z nich naplňuje jeden z cílů práce. V první kapitole uvádíme na scénu pojem grupa, který dále obohacujeme o pojmy jako akce grupy a nebo součin grup. Tento podrobný a plynulý postup nás dovádí až k zavedení homogenního prostoru, jednoho z ústředních pojmů Kleinovy geometrie. Závěr této kapitoly patří velmi jemnému představení tohoto přístupu ke geometrii. Druhá kapitola se sestává z formulace fyzikálních úloh v řeči diferenciální geometrie a jejich řešení. Jako poslední pak zavádíme Jacobiho konexi, jakožto přirozenější variantu konexe implementovanou fyzikálnímu systému. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

The aim of this thesis is to show some mathematical concepts and methods of differential geometry and Lie groups. Subsequently, we try to use this tools in physics. Selection of these two mathematical topics is not random, because these topics are close related essentials of theoretical physics. The thesis is split into two chapters. Each chapter fulfils one of this aim. In the first chapter we introduce the notion of group, which is further enriched with other notions, like group action or group product. This detailed and smooth process leads us to introduction of homogeneous space which is one of the most important notion of Klein geometry. The end of this chapter is devoted to brief introduction to this attitude to geometry. The second chapter consists formulation of physical tasks in the language of differential geometry and afterwards its solution. As the final topic in this thesis we introduce Jacobi connection, as more natural option of connection which is implemented to physical system. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)