Qualitative properties of solutions to equations of fluid mechanics

Abstract

Kvalitativní vlastnosti řešení rovnic mechaniky tekutin Mgr. Jakub Tichý Vedoucí disertační práce: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. Katedra: Katedra matematické analýzy Abstrakt Tato práce se zabývá hraniční regularitou slabých řešení nelineárních parciálních diferenciálních rovnic, které popisují nestlačitelné proudění jisté třídy zobec- něných Newtonovských tekutin v omezených oblastech. Pohybová rovnice a rovnice kontinuity jsou doplněny hraničními podmínkami dokonalého skluzu. Pro stacionární zobecněný Stokesův systém v Rn s růstovými podmínkami po- psanými pomocí N−funkce Φ je ukázána existence druhých derivací rychlosti a jejich regularita až do hranice. Pro stejný systém rovnic je dokázána in- tegrovatelnost gtadientů rychlosti. Lq odhady jsou rovněž získané pro klasický evoluční Stokesův systém pomocí interpolačně-extrapolačních škál. Hölderovská spojitost gradientů rychlosti a tlaku je ukázána pro evoluční zobecněné Navierovy- Stokesovy rovnice v R2 . Klíčová slova Zobecněné Stokesovy a Navier - Stokesovy rovnice, nestlačitelné tekutiny, hra- niční podmínky dokonalého skluzu, regularita až do hranice

Qualitative properties of solutions to equations of fluid mechanics Mgr. Jakub Tichý Supervisor: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. Department: Department of Mathematical Analysis Abstract This thesis is devoted to the boundary regularity of weak solutions to the system of nonlinear partial differential equations describing incompressible flows of a certain class of generalized Newtonian fluids in bounded domains. Equations of motion and continuity equation are complemented with perfect slip boundary conditions. For stationary generalized Stokes system in Rn with growth condi- tion described by N-function Φ the existence of the second derivatives of velocity and their regularity up to the boundary are shown. For the same system of equa- tions integrability of velocity gradients is proven. Lq estimates are obtained also for classical evolutionary Stokes system via interpolation-extrapolation scales. Hölder continuity of velocity gradients and pressure is shown for evolutionary generalized Navier-Stokes equations in R2 . Keywords Generalized Stokes and Navier - Stokes equations, incompressible fluids, perfect slip boundary conditions, regularity up to the boundary