Viditelnostní grafy

Abstract

V předložené práci se zabýváme viditelnostními grafy, se zaměřením na domněnku ,,velká přímka či velká klika." Pro danou množinu bodů P v rovině řekneme, že se dva body vidí, právě když otevřená úsečka mezi nimi neobsahuje žádný bod z P. Vrcholy viditelnostního grafu jsou body z P a dva body jsou spo- jeny hranou, právě když na sebe vidí. Kára a spol. vyslovili domněnku, že každá dost velká konečná množina bodů obsahuje buď ℓ bodů na jedné přímce nebo její viditelnostní graf má klikovost aspoň k. V práci zobecňujeme domněnku na širší třídu grafů a tím poskytujeme alternativní důkaz pro k = ℓ = 4. Dále shrneme dosavadní související poznatky. Zesílíme pozorování o výskytu Hamiltonovy kružnice ve viditelnostních grafech. Charakterizujeme asymptotické chování hra- nové barevnosti viditelnostních grafů. Ukážeme, že pro daná n, ℓ, k lze počítačově rozhodnout, zda původní domněnka platí. Zároveň provedeme počítačové exper- imenty jak pro zobecněnou, tak pro původní domněnku. 1

In the thesis we study visibility graphs focusing on the Big Line Big Clique conjecture. For a given finite point set P in real plane we say that two points see each other if and only if the open line segment between them contains no point from P. Points from P are vertices of the visibility graph, and two points are connected by an edge if and only if they see each other. Kára et al. conjectured that for every finite big enough point set there are at least ℓ collinear points, or the clique number of its visibility graph is at least k. In the thesis we generalize the conjecture, and thus provide an alternative proof for k = ℓ = 4. We also review related known results. We strengthen an observation about occurrence of a Hamiltonian cycle in visibility graphs. We characterize the asymptotic behavior of the edge chromatic number of visibility graphs. We show that for given n, ℓ, k the original conjecture is decidable by a computer. We also provide computer experiments both for the generalized and for the original conjecture. 1