Levodistributivní algebry a uzly

Abstract

Název práce: Levodistributivní algebry a uzly Autor: Hana Holmes Katedra: Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. David Stanovský, Ph.D., Katedra algebry Abstrakt: V první části této práce shrneme základy teorie uzlů, části algebraické topologie zabývající se studiem matematických uzlů. Dále představíme alge- braické struktury zvané quandly a stručně vysvětlíme, jak s teorií uzlů souvisí. V hlavní části této práce pak odvodíme několik tvrzení o vlastnostech afinních quandlů, třídy quandlů odvozených od abelovských grup. Zavedeme novou termi- nologii, která nám umožní popsat afinní quandly z nového úhlu pohledu a dokázat větu, která dáva úplnou charakterizaci konečných afinních quandlů. Provedeme také nový podrobný důkaz již známých tvrzení, která plně popisují, za jakých podmínek jsou dva afinní quandly izomorfní. V poslední kapitole představíme algoritmus, který na základě Cayleyho tabulky quandlu rozhodne, zda je quandle afinní. Tento algoritmus opět vychází z termi- nologie zavedené v předchozích sekcích a výrazně vylepšuje dosud známé výsledky. Klíčová slova: Alexandrův invariant, uzlový quandle, afinní quandle, Cayleyho tabulka, algoritmus 1 Bibliography [1] Colin C. Adams. The Knot Book....

Title: Selfdistributive Algebras and Knots Author: Hana Holmes Department: Department of Algebra Supervisor of the master thesis: doc. RNDr. David Stanovský, Ph.D., Depart- ment of Algebra Abstract: In the first part of this thesis we summarize the basics of knot theory, a part of algebraic topology that studies mathematical knots, introduce algebraic structures called quandles and briefly describe how they are used in knot theory. In the main part of this thesis we derive some properties of affine quandles, a class of quandles associated with abelian groups. We introduce new terminology that allows us to describe affine quandles from a new perspective, and to prove a theorem that gives us a full characterization of finite affine quandles. Using this terminology, we give new detailed proofs of known results that fully describe the situation when two affine quandles are isomorphic. In the end, we present an algorithm which decides from the Cayley table of a quandle if the quandle is affine. Again, it is based on the terminology and the claims from the previous sections, and significantly improves the previously known results. Keywords: Alexander invariant, knot quandle, affine quandle, Cayley table, algorithm 1 Bibliography [1] Colin C. Adams. The Knot Book. American Mathematical Society, 2004. [2] J. W. Alexander....