p-adická čísla

Abstract

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Richard Dubiel p-adická čísla Katedra algebry Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Jan Šťovíček, Ph.D. Studijní program: Matematika Studijní obor: obecná matematika Abstrakt: Táto práca sa zameriava na konštrukciu telesa p-adických čísel, ako zúplnenia telesa čísel racionálnych a následne predstaví niektoré dôležité vlast- nosti tohoto telesa. Predstaví pojmy absolútnej hodnoty, metriky, ultrametriky a zúplnenia telesa vzhľadom k absolútnej hodnote. Následne zavedieme špeciálnu p- adickú absolútnu hodnotu a metriku - takú, ktorá meria, "ako veľmi"je dané číslo deliteľné prvočíslom p. Skonštruujeme zúplnenie telesa racionálnych čísel vzhľa- dom k tejto absolútnej hodnote - teleso p-adických čísel. Uvedieme, ako je tieto čísla možné reprezentovať. Na záver predstavíme dva z najdôležitejších výsedkov teórie p-adických čísel - Henselovo lemma a Hasse-Minkowského vetu.

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Richard Dubiel p-adická čísla Katedra algebry Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Jan Šťovíček, Ph.D. Studijní program: Matematika Studijní obor: obecná matematika Abstract: This thesis deals with construction of the field of p-adic numbers as a completion of rational numbers field and introduces several important properties of this field. It will introduce concepts of an absolute value, metric, ultrametric and completion of field with respect to absolute value. Then we introduce a p-adic absolute value - one that measures "how much" is a number divsible by a prime number p. Then we construct the completion of the field of rational numbers with respect to this absolute value - field of p-adic numbers. We show, how can one represent these numbers. At last, we introduce two of the most important results of the theory of p-adic numbers - Hensel lemma and Hasse-Minkowski theorem.