Hierarchical solution and the structure of order parameters in the mean-field theory of spin glasses and related materials

Abstract

V práci analyzujeme, jak dochází k narušení replikové symetrie v Sherrington- Kirkpatrickově (SK) modelu a v p stavovém Pottsově skle pro p ≤ 4. Představíme obecnou metodu pro odvození asymptotického řešení pro libovolný počet hier- archií narušení replikové symetrie. Pro oba modely hledáme řešení v blízkosti kritického bodu v nulovém vnějším poli a pro SK model též v nenulovém vnějším poli v blízkosti Almeida-Thoulessově linii nestability. Ukážeme, že pro SK model jsou všechna řešení s konečným počtem hierarchií nestabilní a že pouze řešení s nekonečně mnoha hierarchiemi je marginálně stabilní ve skelné fázi. U Pottsova skla najdeme navíc jednokrokové lokálně stabilní řešení koexistující s marginálně stabilním řešením s nekonečně mnoha hierarchiemi pro p > p∗ ≈ 2.82. Ukáže se, že lokálně stabilní řešení má menší volnou energii než druhé marginálně stabilní řešení. 1

We analyze the replica-symmetry-breaking (RSB) construction in the Sherrington - Kirkpatrick (SK) model and in the p-state Potts glass for p ≤ 4. We present a general scheme for deriving an asymptotic solution with an arbitrary number of discrete hierarchies of broken replica symmetry near the critical temperature for both models, and close to the de Almeida- Thouless instability line in the SK model. We show that in the SK model all solutions with finite many hierarchies are unstable and only the scheme with infinite many hierarchies becomes marginally stable in the spin-glass phase. For the Potts glass, we find, moreover, an one-step RSB solution which co- exists with the infinite RSB solution for p > p∗ ≈ 2.82. The former solution is locally stable but has lower free energy than the latter which is marginally stable and has the highest free energy. 1