Ultrafilters and independent systems

Abstract

Práce podává přehled různých konstrukcí ultrafiltrů. V první části uvádí konstrukce, které nepotřebují dodatečné axiomy teorie množin. Je předvedena metoda nezávislých systémů pocházející od K. Kunena. Dále je předvedeno její použití v topologickém zkoumání prostoru ω∗ (důkaz existence šestnácti topologických typů J. van Milla). Tato část je zakončena předvedením nové konstrukce a důkazem autorovy věty o existenci ultrafiltrů, které mají speciální topologické vlastnosti (důkaz existence 17 typu): V ω∗ existuje bod, který není hromadným bodem spočetné diskrétní množiny, je hromadným bodem spočetné množiny a spočetné množiny, v jejichž je hromadným bodem tvoří filtr. Druhá část se zabývá konstrukcemi ultrafiltrů vyžadujícími dodatečné množinové axiomy, resp. teorii forcingu. Je předvedena klasická konstrukce P-bodů, pocházející od J. Ketonena, a konstrukce Q-bodu, pocházející od A. R. D. Mathiase. Další dvě kapitoly se zabývají silnými P-body, které zavedl C. Laflamme. V první z těchto kapitol je dokázána nová charakter- izační věta (výsledek autora společně s A. Blassem a M. Hrušákem): Ultra- filtr je Canjarův právě když je silný P-bod. Je též uveden nový důkaz věty M. Canjara o existenci...

This work presents an overview of several different methods for construct- ing ultrafilters. The first part contains constructions not needing additional assumptions beyond the usual axioms of Set Theory. K. Kunen's method using independent systems for constructing weak P-points is presented. This is followed by a presentation of its application in topology (the proof of the existence of sixteen topological types due to J. van Mill). Finally a new con- struction due to the author is presented together with a proof of his result, the existence of a seventeenth topological type: ω∗ contains a point which is discretely untouchable, is a limit point of a countable set and the countable sets having it as its limit point form a filter. The second part looks at constructions which use additional combina- torial axioms and/or forcing. J. Ketonen's construction of a P-point and A. R. D. Mathias's construction of a Q-point are presented in the first two sections. The next sections concentrate on strong P-points introduced by C. Laflamme. The first of these contains a proof of a new characterization theorem due jointly to the author, A. Blass and M. Hrušák: An ultrafilter is Canjar if and only if it is a strong P-point. A new proof of Canjar's the- orem on the existence of non-dominating filters (Canjar filters) which uses...