Numerická analýza problému polydisperzní sedimentace

Abstract

Práce se zabývá formulací problému polydisperzní sedimentace ve tvaru soustavy parciálních diferenciálních rovnic hyperbolického typu a studiem problematiky určení vlastních čísel Jacobiho matice funkce toku. Vycházíme ze zákonů zacho- vání hmotnosti a hybnosti a užitím konstitutivních vztahů odvodíme tzv. MLB model, který dále formulujeme jako jednorozměrný problém. Při jeho odvození se využívá aplikace Sherman-Morrisonovy formule pro výpočet inverzní matice k matici, která je ve tvaru součtu diagonální matice a matice vzniklé součinem dvou vektorů. Pro určení vlastních čísel Jacobiho matice funkce toku ukazu- jeme, že tato matice může být napsána ve tvaru poruchy diagonální matice. Tento rozklad umožňuje převedení problematiky vlastních čísel na řešení tzv. sekulární rovnice. Na základě řešení sekulární rovnice dokážeme hyperbolicitu systému za přepokladu, že hustoty jednotlivých částic jsou stejné. 1

The problem of the polydisperse sedimentation as the system of the partial differential equations is formulated. The hyperbolicity of the problem and the determination of the eigenvalues of the Jacobi matrix of the flux function is studied. Based on the conservation laws of the mass and momentum completed by the constitutive relations the so called MLB model is derived. The one- dimensional problem is formulated. The Sherman-Morrison formula is used to find the inverse matrix of the sum of the diagonal matrix and the matrix being the product of two vectors. In order to find the eigenvalues of the Jacobi matrix of the flux function the rank two perturbation of the diagonal matrix is used. In such a way the problem of the determination of the eigenvalues is reformulated as the solution of the so called secular equation. The eigenvalues can be localized and the strong hyperbolicity of the problem under certain conditions is proved. 1