Alternative mathematical notation and its applications in calculus

Abstract

Práce zkoumá možnosti formalizace klasických pojmů matematické analýzy bez použití proměnných. Za tímto účelem vytváří nový matematický "jazyk", jenž je schopen popsat všechny klasické výpočty v matematické analýze (přesněji výpočty limit, konečných diferencí, jednorozměrných derivací a určitých a neurčitých inte- grálů) bez použití proměnných. Výpočty zapsané v tomto "jazyce" obsahují pouze symboly funkcí (a jsou tedy zcela rigorózní a nedávají prostor k vágnímu výkladu použitých symbolů). Obecně jsou také výrazně kratší a matematicky průhlednější než jejich tradiční verze (např. při výpočtech integrálů není potřeba zavádět žádné nové symboly a určitý integrál je formalizován tak, že všechna pravidla pro výpočet neurčitých integrálů (včetně "substitučních" pravidel) jsou přímo přenosná na pří- pad určitých integrálů. Práce také formalizuje Landauovu o-notaci způsobem, díky němuž je možné provádět s ní výpočty limit zcela rigorózním způsobem. 1

We explore the possibility of formalizing classical notions in calculus without using the notion of variable. We provide a new mathematical 'language' capable of performing all classical computations (namely computing limits, finite differences, one-dimensional derivatives, and indefinite and definite integrals) without any need to introduce a variable. Equations written using our notation contain only func- tion symbols (and as such are completely rigorous and don't leave any room for vague interpretations). They also tend to be much shorter and more mathemati- cally transparent than their traditional counterparts (for example, there is no need for introduction of new symbols in integration, and definite integration is formalized in such a way that all rules (including 'substitution' rules) for indefinite integration translate directly to definite integration). We also fully formalize the Landau little-o notation in a way that makes computation of limits using it fully rigorous. 1