Geometrické reprezentace grafů

Abstract

Průnikové grafy jsou podrobně studovaným odvětvím teorie grafů. Složitostní otázky rozpoznávání jsou zkomány již řadu let. Pro zadáný graf se ptáme, zda patří do do dané třídy. V této práce představujeme nový problém rozšiřování částečných reprezentací. Pro tento problém je vedle grafu zafisována část reprezentace. Ptáme se, zda je možné tuto částečnou reprezentaci rozšířit na celý graf. Tento problém je alespoN tak těžký jako rozpoznávání. Zabýváme se problémem rozšiřování pro několik tříd průnikových grafů. Vyřešili jsme rozšiřování intervalových grafů v čase O(n2) a vlastních intervalových grafů v čase O(mn). Pomocí metody popsané Golumbicem umíme rozšířit provnalné a permutační grafy v čase O( · m). Mezi některými třídami jsou známy rovnosti, například mezi jednotkovými intervalovými grafy a vlastními intervalovými grafy. Překvapivě v případě rozšiřování je musíme rozlišit. Podobně ukazujeme, že v případě rozšířování funkčních grafů a doplňků provnatelných grafů se jedná o zcela jiné problémy.

Intersection graphs are a well studied field of graph theory. Complexity questions of recognition have been studied for several years. Given a graph, we ask whether the graph belongs to a fixed class. In this thesis, we introduce a new problem of partial representation extension. In this problem, aside from a graph, a part of a representation is also fixed. We ask whether it is possible to extend this partial representation to the whole graph. This problem is at least as hard as recognition. We study the partial representation extension problem for several intersection defined classes. We solve extending of interval graphs in time O(n2) and proper interval graphs in time O(mn). Using an approach described by Golumbic, we further show that comparability and permutation graphs are extendable in time O( · m). There are some classes that are known to be equal, for example unit interval graphs and proper interval graphs. Surprisingly, in the case of extending, we need to distinguish them. Similarly, we show that extending of function graphs and extending of co-comparability graphs are completely different problems.