Intuicionistická logika jako užitečný nástroj

Abstract

V této práci se zabýváme intuicionistickou logikou a úplností gentzenovského kalkulu vůči její sémantice. V důkazu úplnosti jsou využity saturované sekventy. Jazyk, který bereme v úvahu, je nejvýše spočetný. Dále se práce zaměřuje na jedno z rozšíření intuicionistické logiky, a sice intuicionistickou logiku s konstantním univerzem, někdy nazývanou Grzegorczykovou. Zabýváme se Markovovým principem, díky němuž dokážeme, že gentzenovský kalkulus upravený pro tuto logiku nemá bezřezovou úplnost vůči Grzegorczykově sémantice. Značná pozornost je věnována Heytingovým algebrám, jedné z možných sémantik intuicionistické výrokové logiky. Ukážeme, že Rieger-Nishimurův svaz je také Heytingova algebra. Na Heytingových algebrách definujeme filtry a ultrafiltry a s jejich pomocí pak dostaneme kripkovské rámce. Dokážeme, že v těchto rámcích platí tytéž formule jako v Heytingových algebrách.

This work deals with intuitionistic logic and completness of Gentzen calculus with respect to its semantics. The completness proof uses saturated sequents. The language considered is at most countable. Furthermore, our work investigates one of the generalizations of intuitionistic logic, namely intuitionistic logic with constant domain, or Grzegorczyk's logic. We deal with Markov's principle and use it to prove that Gentzen calculus adapted to this logic is not cut-free complete with respect to Grzegorczyk's logic. Part of the work deals with Heyting algebras-one of the possible semantics of intuitionistic propositional logic. We show that the Rieger-Nishimura lattice is a Heyting algebra, too. For Heyting algebras, filters and prime filters are defined and used to obtain Kripke's frames. It is shown that the same formulas hold in these frames and in Heyting algebras.