Slabá řešení stochastických diferenciálních rovnic

Abstract

Hlavním výsledkem předložené práce je důkaz existence slabého řešení stochastické diferenciální rovnice s koeficienty spojitými v proměnné x a majícími v této proměnné nejvýše lineární růst. Standardní metody důkazu tohoto tvrzení (ať založené na konceptu slabého řešení či na řešení martingalového problémy) využívají větu o integrální reprezentaci martingalů, jejíž důkaz je sám o sobě dosti komplikovaný, pokud je dimenze prostoro větší než jedna. Jednoduchá modifikace běžného postupu však dovoluje identifikovat slabé řešení elementárním způsobem, bez nutnosti aplikace zmiňované věty. V úvodních kapitolách jsou shrnuty důležité pomocné výsledky. Jedná se především o charakterizaci prostoru spojitých funkcí coby prostoru trajektorií a dále o důležitou větu umožňující aproximovat spojité funkce lipschitzovskými.

In the present work we study a stochastic di fferential equation with coefficients continuous in x having in this variable linear growth. As a main result we show that there exists a weak solution to this equation by a new, more elementary method. Standard methods are based either on the concept of the weak solution or equivalently on solving a martingale problem. However, both approaches employ the integral representation theorem for martingales, whose proof becomes rather complicated in dimension greater than one. By a simple modi cation of the usual procedure, one can identify the weak solution elementary, with no need to apply the above mentioned theorem. In the preliminaries we summarize some auxiliary results: namely, some properties of the space of continuous functions as the space of trajectories are established and an important theorem which allows us to approximate continuous function by functions Lipschitz continuous is proved.