Algebraic Error in Matrix Computations in the Context of Numerical Solution of Partial Differential Equations

Abstract

Název práce: Algebraická chyba v maticových výpočtech v kontextu numerického řešení parciálních diferenciálních rovnic Autor: Jan Papež Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí disertační práce: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc., Katedra numerické matematiky Abstrakt: Řešení algebraických úloh je neoddělitelnou a často také časově nej- náročnější částí procesu numerického řešení parciálních diferenciálních rovnic (PDR). Algebraické výpočty jsou obecně zatíženy chybami, a v mnoha případech je navíc vysoká přesnost algebraických výpočtů v kontextu celkového řešení dané úlohy nežádoucí. Numerická analýza musí umět pracovat s daným faktem a je- ho důsledky. Předložená práce se v daném směru zabývá několika úzce sou- visejícími tématy. Jsou to zejména rozložení složek chyby různého původu ve výpočetní oblasti, interpretace algebraických chyb využívající tzv. zpětnou chy- bu, zahrnutí algebraických chyb do a posteriorní analýzy chyb, vliv algebraických chyb na adaptivitu a konstrukce zastavovacích kritérií pro (předpodmíněné) alge- braické řešiče. Dosažení pokroku v těchto otázkách předpokládá, dle našeho názoru, pochopení vzájemných vztahů mezi jednotlivými fázemi...

Title: Algebraic Error in Matrix Computations in the Context of Numerical Solution of Partial Differential Equations Author: Jan Papež Department: Department of Numerical Mathematics Supervisor: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc., Department of Numerical Mathe- matics Abstract: Solution of algebraic problems is an inseparable and usually the most time-consuming part of numerical solution of PDEs. Algebraic computations are, in general, not exact, and in many cases it is even principally desirable not to perform them to a high accuracy. This has consequences that have to be taken into account in numerical analysis. This thesis investigates in this line some closely related issues. It focuses, in particular, on spatial distribution of the errors of different origin across the solution domain, backward error interpretation of the algebraic error in the context of function approximations, incorporation of algebraic errors to a posteriori error analysis, influence of algebraic errors to adaptivity, and construction of stopping criteria for (preconditioned) iterative algebraic solvers. Progress in these issues requires, in our opinion, understanding the interconnections between the phases of the overall solution process, such as discretization and algebraic computations. Keywords: Numerical solution of partial...