Výpočetní složitost v teorii grafů

Abstract

Seidelovo přepnutí je grafová operace, která změní hrany vycházející z daného vrcholu tak, aby sousedil s právě těmi vrcholy, které původně nebyly jeho sousedy; zbytek grafu zůstane nezměněn. Dva grafy nazveme ekvivalentní v přepnutí, pokud lze pomocí posloupnosti přepnutí jeden z nich převést na izomorfní tomu druhému. V této práci studujeme výpočetní složitost problému S(P) pro určitou grafovou vlastnost P: je daný graf G ekvivalentní v přepnutí nějakému grafu, který má vlastnost P? Neprve podáváme přehled známých výsledků, vlastností P, pro které je problém S(P) polynomiální, i těch, pro které je NP-úplný. Poté ukážeme NP-úplnost následujícího problému pro každé c (0; 1): lze daný graf G přepnout tak, aby obsahoval kliku velikosti alespoň cn, kde n je počet vrcholů grafu G? Zabýváme se také problémem pro pevně zvolený graf H rozhodnout, zda je daný graf G ekvivalentní v přepnutí nějakému H-prostému grafu. Ukážeme, že je-li H izomorfní spáru, tento problém je polynomiální. Dále podáváme charakterizaci grafů, které jsou ekvivalentní v přepnutí nějakému K1;2-prostému grafu, pomocí deseti zakázaných indukovaných podgrafů, z nichž každý má pět vrcholů.

Seidel's switching is a graph operation which makes a given vertex adjacent to precisely those vertices to which it was non-adjacent before, while keeping the rest of the graph unchanged. Two graphs are called switching-equivalent if one can be made isomorphic to the other by a sequence of switches. In this thesis, we study the computational complexity the problem S(P) for a certain graph property P: given a graph G, determine if G is switching-equivalent to a graph having P. First, we give an overview of known results, including both properties P for which S(P) is polynomial, and those for which S(P) is NP-complete. Then we show the NP-completeness of the following problem for each c (0; 1): determine if a graph G can be switched to contain a clique of size at least cn, where n is the number of vertices of G. We also study the problem if, for a xed graph H, a given graph is switching-equivalent to an H-free graph. We show that for H isomorphic to a claw, the problem is polynomial. Further, we give a characterization of graphs witching-equivalent to a K1;2-free graph by ten forbidden induced subgraphs, each having ve vertices.