Constructions of Commutative Semirings and Radical Rings

Abstract

In this dissertation we deal with constructive methods applied to the commutative semirings and commutative radical rings. In Chapter 2 we study the class S of the commutative subdirectly irreducible radical rings. We present a few constructive methods for them and using the reflection of the category of the commutative rings into the category of the commutative radical rings we derive a lot of examples of rings in S with various properties. We prove that a ring S 2 S is noetherian if and only if it is finite. We show partial results in the classification of factors of S modulo monoliths. In Chapter 3 we introduce, using the p-prime valuation for all primes p, a set of characteristic sequences that can be assign to every subsemiring of Q+. We find and classify all maximal subsemirings of positive rational numbers and show that every proper subsemiring of Q+ is contained in at least one of them. This results was published in [16]. In Chapter 4 we construct, using the approach from the Chapter 4, a new large subclass of the class CongSimp of all proper congruence-simple subsemirings of Q+, classify all the maximal elements of CongSimp and show that every element of CongSimp is contained in at least one of them. In Chapter 5 we find an equivalent condition under which is the semiring Q+[ ] C, 2 C, contained in...

V této disertaci se budeme zabývat konstruktivními metodami aplikovanými na komutativní polookruhy a komutativní radikálové okruhy. V kapitole 2 budeme studovat třídu komutativních subdiretně ireducibilních radikálových okruhů. Uvedeme několik konstrukčních přístupů a pomocí reflexe z kategorie komutativních okruhů do kategorie komutativních radikálových okruhů odvodíme řadu příkladů s různými vlastnostmi. Ukážeme, že okruh S 2 S je noetherovský právě když je konečný. Dále uvedeme částečné výsledky v klasifikaci faktorů okruhů v S podle monolitu. V kapitole 3 pomocí p-prvočíselných valuací každému podpolookruhu v Q+ přiřadíme množinu jeho characteristických posloupností. Nalezneme a klasifikujeme všechny maximální podpolookruhy kladných racionálních čísel a ukážeme, že každý vlastní podpolookruh v Q+ je obsažen v nějakém z nich. Tento výsledek byl publikován v [16]. V kapitole 4 zkonstruujeme, použitím metod z kapitoly 4, novou širokou podtřídu třídy CongSimp všech vlastních kongruenčně jednoduchých podpolookruhřu v Q+, klasifikujeme všechny maximální prvky v CongSimp a ukážeme, že každý prvek CongSimp je obsažen alespoň v jednom z nich. V kapitole 5 nalezneme ekvivalentní podmínku pro to, aby polookruh Q+[ ] C, 2 C, byl obsažen v nějakém parapolotělese v C a provedeme klasifikaci pro případ, kdy je...