Barvení platónských a archimédovských těles

Abstract

V této práci studujeme obarvení platónských a archimédovských těles. Poskytujeme přehled vlastností jejich grafů, následovaný shrnutím typů obarvení, která lze na tyto grafy aplikovat. Ukazujeme převody mezi různými typy obarvení a počítáme odpovídající chromatická čísla. Studujeme chromatické polynomy a odvozujeme explicitní vzorec pro chromatický polynom úplného k-partitního grafu s partitami velikosti 2. Dále se zabýváme konceptem orbitálního chromatického polynomu, který poprvé představil P. J. Cameron v roce 2007, a implementujeme algoritmus pro jeho výpočet. Nakonec studujeme počet rozkladů vrcholů na nezávislé množiny až na symetrie, stanovujeme odhady pro tyto počty a navrhujeme algoritmus pro jejich výpočet.

In this thesis, we study the coloring of Platonic and Archimedean solids. We provide an overview of the properties of their underlying graphs, followed by a summary of the types of colorings that can be applied to these graphs. We show conversions between various types of colorings and compute the corresponding chromatic numbers. We study chromatic polynomials and derive an explicit formula for the chromatic polynomial of a complete k-partite graph with partition size 2. We then study the concept of the orbital chromatic polynomial, which was first introduced by P.J. Cameron in 2007, and implement an algorithm for its computation. Lastly, we study the number of partitions of vertices into independent sets up to symmetries, establish bounds for these numbers, and propose an enumerative algorithm for their computation.