Hluboké učení pro řešení diferenciálních rovnic

Abstract

Neural networks are becoming an ever more prominent method in the field of differen- tial equations. Their use is embodied in the concept of physics-informed neural network (PINN), which combines a traditional deep neural network with the underlying laws of physics described by PDEs. We investigate the abilities of this relatively novel approach on thee diverse examples in order to give a good overview of its advantages and issues. Every problem is also solved via the finite element method, which serves as a reference. In addition to that, we propose the usage of pre-training, which is already present in other scientific areas. If we initialize the process of solving of one equation with a solution to a similar problem, in some settings, we were able to significantly reduce computation time, which is major drawback of PINNs. 1

Neuronové sítě se stávají čím dál tím populárnějším nástrojem pro řešení diferenciál- ních rovnic. Jejich použití ztělesňuje koncept physics-informed neural network (PINN), který kombinuje tradiční hlubokou neuronovou síť s fyzikálními zákony v podobě par- ciálních diferenciálních rovnic. Možnosti tohoto relativně nového přístupu prozkoumáme na třech rozmanitých příkladech, abychom mohli přehledně formulovat jeho výhody a nevýhody. Každý z problémů je také řešen metodou konečných prvků, která slouží jako referenční přístup. Kromě toho navrhujeme použití předtrénovaní, které se běžně používá v jiných vědeckých oborech. Pokud inicializujeme proces řešení rovnice pomocí výsledku podobného problému, významně tím zkrátíme výpočetní čas, který je zásadním nedostatkem PINN. 1