The incompleteness theorems and Berry's paradox

Abstract

This thesis is devoted to a formal presentation of an alternative proof of Gödel's first incompleteness theorem, based on the Berry paradox ("the smallest number not definable in under 57 characters", with this definition having less characters and defining this number). The approach used was suggested by an article by G. Chaitin. We define the Kolmogorov complexity of a natural number m as the binary length of the smallest program for the universal Turing machine that on input 0 outputs the number m. Using a formal argument based on the Berry paradox, we show that the property of a (large enough) number n being a lower bound for the Kolmogorov complexity of a number m is not provable in any consistent recursively axiomatizable extension of Robinson arithmetic. But by a counting argument, for all n, it is true for all but finitely many m. This is used to prove the first incompleteness theorem. Another way (by G. S. Boolos) of formalizing the Berry paradox to prove the same theorem is put in the context of the presented approach. 1

Tahle práce je věnovaná formální prezentaci alternativního důkazu Gödelovy první věty o neúplnosti, založeném na Berryho paradoxu ("nejmeší číslo, které nelze defino- vat méně než 57 znaky", přičemž tahle definice má méně znaků a definuje tohle číslo). Použitý přístup byl navržen v článku G. Chaitina. Definujeme Kolmogorovovu složitost přirozeného čísla m jako binární délku nejmešího programu pro univerzální Turingův stroj, který na vstupu 0 vrátí číslo m. Pomocí formálního argumentu inspirovaného Berryho paradoxem ukážeme nedokazatelnost tvrzení, že číslo n je dolní mezí pro Kol- mogorovovu složitost čísla m v jakémkoliv konzistentím rekurzivně axiomatizovatelném rozšíření Robinsonovy aritmetiky. Jednoduchý početní argument ale ukáže, že pro všechna n je tohle tvrzení pravdivé pro všechna až na konečně mnoho m. To je využito k důkazu první věty o neúplnosti. Jiný způsob (pocházející od G. S. Boolose) formalizace Berryho paradoxu k důkazu stejné věty je představen v kontextu prezentovaného přístupu. 1