Variation of Fractional Processes

Abstract

V tejto práci študujeme rôzne pojmy variácie určitých stochastických procesov, konkrétne $p$-variáciu, $p$-tú variáciu pozdĺž postupnosti delení po trajektóriách a $p$-tú variáciu pozdĺž postupnosti delení. Študujeme tieto koncepty pre frakcionálne Brownove pohyby a Rosenblattove procesy. Frakcionálny Brownov pohyb je Gaussovský proces a v posledných dvoch desaťročiach sa intenzívne rozvíjal a študoval kvôli jeho dôležitosti pri modelovaní rôznych javov. Na druhej strane, Rosenblattovmu procesu, čo je ne-Gaussovský proces, ktorý sa dá použiť na modelovanie ne-Gaussovských fluktuácií, sa nevenovala taká pozornosť ako frakcionálnemu Brownovmu pohybu. Z tohto dôvodu sa v tejto práci sústredíme na tento proces a uvádzame niekoľko pôvodných výsledkov, ktoré sa zaoberajú ergodicitou, $p$-variáciou, $p$-tou variáciou pozdĺž postupnosti delení po trajektóriách a $p$-tou variáciou pozdĺž postupnosti delení. Boris Kiška

In this thesis, we study various notions of variation of certain stochastic processes, namely $p$-variation, pathwise $p$-th variation along sequence of partitions and $p$-th variation along sequence of partitions. We study these concepts for fractional Brownian motions and Rosenblatt processes. A fractional Brownian motion is a Gaussian process and it has been intensively developed and studied over the last two decades because of its importance in modeling various phenomena. On the other hand, a Rosenblatt process, which is a non- Gaussian process that can be used for modeling non-Gaussian fluctuations, has not been getting as much attention as fractional Brownian motion. For that reason, we concentrate in this thesis on this process and we present some original results that deal with ergodicity, $p$-variation, pathwise $p$-th variation along sequence of partitions and $p$-th variation along sequence of partitions. Boris Kiška