Cramérova-Woldova věta

Abstract

Cramérova-Woldova věta říká, že každou d-rozměrnou (borelovskou) pravděpodob- nostní míru P dokážeme plně charakterizovat P-pravděpodobnostmi všech poloprostorů (množin bodů ležících na jednu stranu od nějaké nadroviny). Ekvivalentně, rozdělení d-rozměrného náhodného vektoru X je jednoznačně určeno všemi rozděleními projekcí ⟨X, u⟩, pro u z jednotkové sféry. Cílem práce je detailní zpracování důkazu této důle- žité věty, a diskuze o jejích možných zobecněních. Potřebujeme znát skutečně všechny projekce ⟨X, u⟩ pro každé u? Projekce v kolika směrech musíme znát, abychom doká- zali určit míru P, která přiděluje n různým bodům pravděpodobnosti 1/n? Jak souvisí Cramérova-Woldova věta s podobnými výsledky známými mimo teorii pravděpodobnosti? 1

The Cramér-Wold theorem asserts, that every d-dimensional (Borel) probability me- asure can be characterized by the P-probabilities of all halfspaces (sets of points lying on one side of a given hyperplane). Equivalently, the distribution of each d-dimensional random vector X is fully described by all distributions of projections ⟨X, u⟩, for u from the unit sphere. The goal of this thesis is a detailed proof of this important theorem, and a discussion on its potential extensions. Do we really need to know all projections ⟨X, u⟩ for each u? Projections in how many directions are necessary to be known to be able to determine a measure P, which assigns to n distinct points masses 1/n? How does the Cramér-Wold theorem relate to similar results used outside of the probability theory? 1