Elliptic Curves and Diophantine Equations
Eliptické křivky a diofantické rovnice
bakalářská práce (OBHÁJENO)

Zobrazit/ otevřít
Trvalý odkaz
http://hdl.handle.net/20.500.11956/147634Identifikátory
SIS: 221385
Kolekce
- Kvalifikační práce [11266]
Autor
Vedoucí práce
Oponent práce
Shaul, Liran
Fakulta / součást
Matematicko-fyzikální fakulta
Obor
Obecná matematika
Katedra / ústav / klinika
Katedra algebry
Datum obhajoby
2. 9. 2021
Nakladatel
Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakultaJazyk
Angličtina
Známka
Výborně
Klíčová slova (česky)
Diofantické rovnice, eliptické křivky, algebraická geometrieKlíčová slova (anglicky)
Diophantine equations, Elliptic curves, Algebraic geometryPro danou rovnici f(x, y) = 0, kde f je polynom dvou proměnných s racionálními koeficienty a stupně nižšího nebo rovného třem, budeme studovat vlastnosti množiny jejích racionálních řešení. Ukážeme, že je-li f ireducibilní stupně tři, pak příslušná kubická křivka je biracionálně ekvivalentní speciální kubické křivce, běžně nazývané eliptická. Dále definujeme grupovou strukturu na množině všech racionálních bodů eliptické křivky a na konec dokážeme Nagell-Lutzové větu, která dí, že všechny racionální body konečného řádu v takto definované grupě mají celočíselné souřadnice. 1
Given an equation of the form f(x, y) = 0, where f is a polynomial in two variables with rational coefficients of degree lower or equal to three, we will study the properties of the set of its rational solutions. We will show that if f is irreducible and the degree of f is three, then the corresponding cubic curve is birationally equivalent to a special cubic curve, often called elliptic. Furthermore, we will define a group law on the set of rational points of an elliptic curve and finish with the proof of Nagell-Lutz theorem, which states that all rational points of finite order in such defined group have integral coordinates. 1