Drawing geometric graphs on red-blue point sets

Abstract

Nechť B je množina modrých bodů v rovinně a R je množina červených bodů v rovinně. Navíc předpokládejme, že R ∪ B je v obecné poloze. Geometrický graf je graf nakreslený v rovinně, jehož hrany jsou nakresleny pomocí úseček. Naším cílem je prozkoumat nekřížící se dobře obarvené geometrické grafy nakreslené na množinu bodů B ∪ R. Ukážeme, že pokud ||B| − |R|| ≤ 1 a pokud podmnožina vrcholů z R tvoří vrcholy mnohoúhelníka oddělující množinu B, ležící uvnitř, od zbytku množiny R, ležící vně, tak existuje nekřížící se dobře obarvená geometrická cesta na bodech B ∪ R procházející všechny tyto body. Pokud množina B ∪ R leží na kružnici, tak velikost největší nekřížící se dobře obarvené cesty je úzce spojená s velikostí největšího separovaného párování. Sepa- rované párování je nekřížící se dobře obarvené geometrické párování v němž jdou všechny hrany protnou jednou přímkou. Diskrepance množiny R ∪ B je největší možný rozdíl mezi velikostmi barevných tříd podmnožiny bodů tvořící interval na kružnici. Ukážeme, že když je diskrepance nejvýše 2, tak existuje separované párování pokrývající asymptoticky 4 5 všech bodů. V důkazu použijeme spojitost separovaných párování s nejdelšími společnými podposloupnostmi mezi dvěma binárními posloupnostmi, ve kterých symboly odpovídají barvám. 1

Consider a set B of blue points and a set R of red points in the plane such that R ∪ B is in general position. A graph drawn in the plane whose edges are straight-line segments is called a geometric graph. We investigate the problem of drawing non-crossing properly colored geometric graphs on the point set R ∪ B. We show that if ||B| − |R|| ≤ 1 and a subset of R forms the vertices of a convex polygon separating the points of B, lying inside the polygon, from the rest of the points of R, lying outside the polygon, then there exists a non-crossing properly colored geometric path on R∪B covering all points of R ∪ B. If R∪B lies on a circle, the size of the longest non-crossing geometric path is related to the size of the largest separated matching; a separated matching is a non-crossing properly colored geometric matching where all edges can be crossed by a line. A discrepancy of R ∪ B is the maximal difference between cardinalities of color classes of intervals on the circle. When the discrepancy of R ∪ B is at most 2, we show that there is a separated matching covering asymptotically 4 5 of points of R ∪ B. During this proof we use a connection between separated matchings and the longest common subsequences between two binary sequences where the symbols correspond to the colors of the points.