Basic sequences in Banach spaces

Abstract

Definujeme uspořádání bází v Banachových prostorech jako přirozené zobecnění pojmu ekvivalence. Jeho teorii rozvíjíme s důrazem na chování vzhledem k takzvaným "shrinking" a "boundedly-complete" bázím. Dokážeme, že omezený operátor, který zobrazuje shrin- king bázi na boundedly-complete bázi je slabě kompaktní. V kontextu uspořádání pak interpretujeme známý výsledek, že slabě kompaktní operátor se faktorizuje skrze refle- xivní prostor. Následně představíme definici jisté třídy Banachových prostorů, jejichž norma je zkon- struována pomocí dvoudimenzionální normy N. Dokážeme, že každý takový prostor XN je izomorfní Orliczovu prostoru posloupností. Pro nalezení této korespondence je klíčové popsat jednotkovou kružnici v normě N pomocí konvexní funkce ϕ. Kanonické jednotkové vektory v prostoru XN tvoří bázi podprostoru YN . Charakterizujeme ekvivalenci těchto bází a situaci, kdy je taková báze boundedly-complete. Příslušná kritéria jsou zformulo- vána pomocí normy N a funkce ϕ. 1

An ordering on bases in Banach spaces is defined as a natural generalization of the notion of equivalence. Its theory is developed with emphasis on its behavior with respect to shrinking and boundedly-complete bases. We prove that a bounded operator mapping a shrinking basis to a boundedly-complete one is weakly compact. A well-known result concerning the factorization of a weakly compact operator through a reflexive space is then reinterpreted in terms of the ordering. Next, we introduce a class of Banach spaces whose norm is constructed from a given two-dimensional norm N. We prove that any such space XN is isomorphic to an Orlicz sequence space. A key step in obtaining this correspondence is to describe the unit circle in the norm N with a convex function ϕ. The canonical unit vectors form a basis of a subspace YN of XN . We characterize the equivalence of these bases and the situation when the basis is boundedly-complete. The criteria are formulated in terms of the norm N and the function ϕ. 1