Semilinear stochastic evolution equations

Abstract

Stochastické parciální diferenciální rovnice nachází uplatnění v řadě aplikovaných oblastí matematiky, jako například ve fyzice nebo finanční matematice. Velkou část těchto rovnic tvoří lineární rovnice s aditivním šumem. V některých případech ale koefi- cient driftu obsahuje navíc problematický nelineární člen, kvůli němuž nelze standardními metodami nalézt řešení, a to dokonce ani ve tvaru "mild". V těchto situacích můžeme použít vhodnou transformaci pravděpodobnostního prostoru a nalézt řešení v takzvaném slabém smyslu. Tato práce se zabývá semilineárními stochastickými evolučními rovnicemi v separabilním Hilbertově prostoru s řídícím procesem Volterrovského typu. Tyto pro- cesy tvoří velkou skupinu procesů, které lze chápat jako zobecnění Wienerova procesu, a mají značné uplatnění ve stochastickém modelování. Slabá řešení rovnic s těmito pro- cesy byla ale doposud studována pouze pro frakcionální Brownův pohyb. Tato práce představuje zoběcnění Girsanovovy věty pro obecné cylindrické Gaussovské Volterrovské procesy a důkaz existence slabého řešení za jistých podmínek. V práci je navíc dokázáno, že v jistých případech lze zaručit jednoznačnost rovnice v distribuci. Dále se zabýváme rovnicemi, kde je uvažován Liouvilleův frakcionální Brownův pohyb jako řídící proces. Pro tento případ je představen důkaz...

Stochastic partial differential equations have proven useful in many applied areas of mathematics, such as physics or mathematical finance. A major part of such equations consists of linear equations with additive noise. In certain cases, however, the drift part of the differential equation additionally contains a possibly problematic non-linear term, which makes it unsolvable by the standard methods and even a solution in the mild sense may be out of reach. In such situations, we may still find a solution in the weak sense by employing a suitable transformation of the probability space. This thesis deals with semilinear stochastic evolution equations in a separable Hilbert space, where the driving process is an element of a large class of processes - so called Volterra processes, which can be understood as a generalisation of the Wiener process and may be of use to model a wide range of phenomena. The weak solutions, however, have been studied so far only for equations with the cylindrical fractional Brownian motion as the driving process. In this thesis, we introduce a generalisation of the Girsanov theorem for cylindrical Gaussian Volterra processes and give, in full generality, sufficient conditions for the existence of a weak solution and the uniqueness of the equation in law. Further, we introduce...