Numerical analysis of problems in time-dependent domains

Abstract

Tato práce se zabývá teoretickou analýzou časoprostorové nespojité Galerkinovy metody aplikované na numerické řešení nestacionárního nelineárního problému konvekce a difúze v časově závislých oblastech. Problém je nejprve přeformulován použitím ALE (arbitrary Lagrangian-Eulerian) metody, která nahrazuje klasickou parciální derivaci podle času takzvanou ALE derivací a dalším konvekčním členem. Problém je pak diskretizován použitím ALE časoprostorové nespojité Galerkinovy metody. Na základě technické analýzy získáme bezpodmínečnou stabilitu této metody. Důležitým krokem v analýze je zobecnění diskrétní charakteristické funkce pro přibližné řešení v časově závislých oblastech a odvození její vlastností. Dále odvozujeme apriorní odhady chyby této metody v závislosti na interpolační chybě, a také v závislosti na h a tau. Na závěr jsou uvedeny některé praktické aplikace ALE časoprostorové nespojité Galerkinovy metody v časově závislých oblastech. Zabýváme se numerickým řešením problému nelineární elasticity a navíc interakcí stlačitelného vazkého proudění s elastickými strukturami. Hlavní pozornost je věnována modelování vibrací hlasivek vyvolaných prouděním vzduchu ve zjednodušeném lidském vokálním traktu.

This work is concerned with the theoretical analysis of the space-time discontinuous Galerkin method applied to the numerical solution of nonstationary nonlinear convection-diffusion problem in a time- dependent domain. At first, the problem is reformulated by the use of the arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) method, which replaces the classical partial time derivative by the so-called ALE derivative and an additional convection term. Then the problem is discretized with the use of the ALE space-time discontinuous Galerkin method. On the basis of a technical analysis we obtain an unconditional stability of this method. An important step in the analysis is the generalization of a discrete characteristic function associated with the approximate solutionin a time-dependentdomainand the derivationof its properties. Further we derive an a priori error estimate of the method in terms of the interpolation error, as well as in terms of h and tau. Finally, some practical applications of the ALE space-time discontinuos Galerkin method in a time-dependent domain are given. We are concerned with the numerical solution of a nonlinear elasticity benchmark problem and moreover with the interaction of compressible viscous flow with elastic structures. The main attention is paid to the modeling of flow induced vocal fold...