Krylov Subspace Methods - Analysis and Application

Abstract

Title: Krylov Subspace Methods - Analysis and Application Author: Tomáš Gergelits Department: Department of Numerical Mathematics Supervisor: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc., Department of Numerical Mathematics Abstract: Convergence behavior of Krylov subspace methods is often studied for linear algebraic systems with symmetric positive definite matrices in terms of the condition number of the system matrix. As recalled in the first part of this thesis, their actual convergence behavior (that can be in practice also substantially affected by rounding errors) is however determined by the whole spectrum of the system matrix, and by the projections of the initial residual to the associated invariant subspaces. The core part of this thesis investigates the spectra of infinite dimensional operators −∇ · (k(x)∇) and −∇ · (K(x)∇), where k(x) is a scalar coefficient function and K(x) is a symmetric tensor function, preconditioned by the Laplace operator. Subsequently, the focus is on the eigenvalues of the matrices that arise from the discretization using conforming finite elements. Assuming continuity of K(x), it is proved that the spectrum of the preconditi- oned infinite dimensional operator is equal to the convex hull of the ranges of the diagonal function entries of Λ(x) from the spectral decomposition K(x) =...

Název práce: Metody krylovovských podprostorů - Analýza a aplikace Autor: Tomáš Gergelits Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí disertační práce: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc., Katedra numerické matemati- ky Abstrakt: Konvergenční chování krylovovských metod pro řešení lineárních algebraických rovnic s pozitivně definitní symetrickou maticí je často spojováno s číslem podmíněnosti matice. Jak je však shrnuto v první části disertace, jejich skutečné konvergenční chování (které může být v praktických výpočtech významně ovlivněno zaokrouhlovacími chybami) je určeno celým spektrem matice a projekcemi počátečního rezidua do odpovídajících in- variantních podprostorů. Jádro práce spočívá ve vyšetřování spekter nekonečně dimen- zionálních operátorů −∇·(k(x)∇) a −∇·(K(x)∇), kde k(x) je skalární funkce a K(x) je symetrická tensorová funkce, předpodmíněných pomocí Laplaceova operátoru. Následně je pozornost zaměřena na vlastní čísla matic vzniklých diskretizací pomocí konformní metody konečných prvků. Za předpokladu spojitosti funkce K(x) je dokázáno, že spek- trum příslušné předpodmíněnému nekonečně dimenzionálnímu operátoru je ekvivalentní konvexní obálce oborů hodnot funkcí...