Zobecnění konvexních funkcí

Abstract

Konvexní funkce mají z pohledu matematické optimalizace řadu pěkných vlastností, jejich lokální minimum je i globálním minimem, mají konvexní dolní úrovňové množiny a jsou-li diferencovatelné, pak mají globální minimum ve stacionárním bodě. Pro hledání minima diferencovatelné konvexní funkce na konvexní množině můžeme proto efektivně využít například Karush-Kuhn-Tuckerovy podmínky nebo gradientní metody. Předpo- klad konvexity funkce je ale docela restriktivní a k řadě námi využívaných vlastností konvexních funkcí ani není nutný. Tématem této bakalářské práce jsou konvexní funkce a jejich zobecnění, konkrétně kvazikonvexní a K-konvexní funkce, okrajově se zmíníme i o invexních funkcích. Práce shromažďuje poznatky o konvexních, kvazikonvexních a K- konvexních funkcích, které mohou být využity v matematické optimalizaci a ilustruje je na příkladech. 1

Convex functions have range of useful properties that can be well utilized in mathe- matical optimization. For instance, their local minima is also global minima, they have convex lower level sets and if differentiable, their stationary point is also the point of global minima. For differentiable convex functions gradient methods and Karush-Kuhn-Tucker conditions can be effectively applied. On the other hand, the assumption of convexity is rather restrictive and not necessary for some of their desired properties. Theme of this thesis are convex functions and their generalizations, namely quasiconvex and K-convex functions, invex functions are also marginally mentioned. This thesis gathers knowledge about convex, quasiconvex and K-convex functions that can be used in mathematical optimization and ilustrates it on examples. 1