Prostor vyplňující křivky

Abstract

Peano curves are continuous mappings from the unit interval [0, 1] onto the n- dimensional square [0, 1]n , n ∈ N. There are many such curves and therefore we focuses especially on the Hilbert curve. We informally outline its geometrical interpretation and then we describe the construction in R2 by writing a number in a quaternary form. For such defined mapping we prove that it is a Peano curve and that it is 1/2 - Hölder con- tinuous. In conclusion, using the Haussdorf dimension, we show that there is no Peano curve in Rn that is also α - Hölder continuous for α > 1/n. 1

Peanovi křivky jsou spojitá zobrazení z jednotkového intervalu [0, 1] na n-dimenzionální čtverec [0, 1]n , n ∈ N. Takových křivek je mnoho a proto se v této práci zaměříme zejména na Hilbertovu křivku. Neformálně naznačíme její geometrickou interpretaci a poté se budeme věnovat konstrukci v R2 pomocí zápisu čísla ve čtyřkové soustavě. Pro takto zadefinované zobrazení dokážeme, že jde o křivku Peanova typu, a že je 1/2 - Höl- derovsky spojitá. V závěru s využitím Haussdorfovy dimenze ukážeme, že neexistuje Peanova křivka v Rn , která by byla zároveň α - Hölderovsky spojitá pro α > 1/n. 1