Nonabsolutely convergent integrals

Abstract

Title: Nonabsolutely convergent integrals Author: Krist'yna Kuncov'a Department: Department of Mathematical Analysis Supervisor: prof. RNDr. Jan Mal'y, DrSc., Department of Mathematical Analysis Abstract: In this thesis we develop the theory of nonabsolutely convergent Hen- stock-Kurzweil type packing integrals in different spaces. In the framework of metric spaces we define the packing integral and the uniformly controlled inte- gral of a function with respect to metric distributions. Applying the theory to the notion of currents we then prove a generalization of the Stokes theorem. In Rn we introduce the packing R and R∗ integrals, which are defined as charges - additive functionals on sets of bounded variation. We provide comparison with miscellaneous types of integrals such as R and R∗ integral in Rn or MCα integral in R. On the real line we then study a scale of integrals based on the so called p-oscillation. We show that our indefinite integrals are a.e. approximately differ- entiable and we give comparison with other nonabsolutely convergent integrals. Keywords: Nonabsolutely convergent integrals, BV sets, Henstock-Kurzweil in- tegral, Divergence theorem, Analysis in metric measure spaces 1

Název práce: Neabsolutně konvergentní integrály Autor: Kristýna Kuncová Katedra: Katedra matematické analýzy Vedoucí disertační práce: prof. RNDr. Jan Malý, DrSc., Katedra matematické analýzy Abstrakt: V této práci rozvíjíme teorii neabsolutně konvergentních packing in- tegrálů Henstock-Kurzweilovského typu v rozličných prostorech. Na metrických prostorech definujeme packing integrál a UC integrál funkce vzhledem k met- rickým distribucím. Teorii pak aplikujeme na tzv. currenty, díky čemuž dokážeme zobecnění Stokesovy věty. V Rn zavádíme packing R a R∗ integrály, které definujeme jako charge - aditivní funkcionály na množinách s konečnou variací. Porovnáváme je s dalšími typy integrálů, např. s R a R∗ integrálem v Rn nebo s MCα integrálem v R. Na reálné ose studujeme škálu integrálů založených na pojmu p-oscilace. Ukážeme, že tyto neurčité integrály jsou s. v. aproximativně diferencovatelné, a srovnáme je s dalšími neabsolutně konvergentními integrály. Klíčová slova: Neabsolutně konvergentní integrály, BV množiny, Henstock-Kurz- weilův integrál, Věta o divergenci, Analýza v metrických prostorech s mírou 1