Families of connected spaces

Abstract

Families of connected spaces Adam Bartoš Abstract We deal with two completely different kinds of connected spaces - maximal connected spaces and metrizable continua. A topologi- cal space is maximal connected if it is connected, but every strictly finer topology on the same base set is disconnected. Here, the name "Families of connected spaces" refers to the collection of all connected topologies on a given set, which is ordered by inclusion, and maximal connected topologies are its maximal elements. We study the con- struction of tree sums of topological spaces, and how this construc- tion preserves maximal connectedness. We also characterize finitely generated maximal connected spaces as T1 2 -compatible tree sums of copies of the Sierpiński space. On the other hand, we are interested in a general question when for a given class of continua there exists a metrizable compactum whose set of components is equivalent to the given class. (Two classes are equivalent if they contain the same spaces up to homeomorphic copies.) We introduce compactifiable, Polishable, strongly compactifiable, and strongly Polishable classes of compacta, and we investigate their properties. This is related to the descriptive complexity of equivalent realizations of the given class in the hyper- space of all compacta. We prove that...

Soubory souvislých prostorů Adam Bartoš Abstrakt Zabýváme se dvěma zcela odlišnými druhy souvislých prostorů - maximálně souvislými prostory a metrizovatelnými kontinui. Topo- logický prostor je maximálně souvislý, pokud je souvislý, ale každá ostře jemnější topologie na téže základové množině už je nesouvislá. Název "Soubory souvislých prostorů" zde odkazuje ke kolekci všech souvislých topologií na dané množině. Ta je uspořádaná inkluzí a ma- ximálně souvislé topologie jsou její maximální prvky. Zkoumáme kon- strukci stromových sum topologických prostorů a jak tato konstrukce zachovává maximální souvislost. Dále charakterizujeme konečně ge- nerované maximálně souvislé prostory jako T1 2 -kompatibilní stromové sumy kopií Sierpińského prostoru. Na druhé straně nás zajímá obecná otázka, kdy k dané třídě kontinuí existuje metrizovatelný kompakt, jehož množina komponent je ekvivalentní dané třídě. (Dvě třídy jsou ekvivalentní, jestliže obsahují až na homeomorfní kopie stejné pro- story.) Zavádíme kompaktifikovatelné, polišovatelné, silně kompakti- fikovatelné a silně polišovatelné třídy kompaktů a zkoumáme jejich vlastnosti. Toto souvisí s deskriptivní složitostí ekvivalentních reali- zací dané třídy v hyperprostoru všech kompaktů. Ukážeme, že v tomto hyperprostoru je každý analytický soubor ekvivalentní...