Computational and structural apects of interval graphs and their variants

Abstract

Intervalové grafy, průnikové grafy úseček (intervalů) na reálné přímce, hrají klíčovou roli při studování algoritmů a specifických strukturálních vlastností. Velmi studovanou třídou jsou také jednotkové intervalové grafy, vlastní podtřída intervalových grafů, kde každý interval má jednotkovou délku. V práci se věnu- jeme smíšeným jednotkovým intervalovým grafům, grafům vzniklým zobecněním jednotkových intervalových grafů, kde každý interval má stále jednotkovou délku, ale může být různého typu (uzavřený, otevřený, polouzavřený). Tato drobná modi- fikace zahrnuje výrazně širší třídu grafů, například smíšené jednotkové intervalové grafy nejsou na rozdíl od jednotkových grafů spáruprosté. Heggernes, Meister a Papadopoulos přišli s bublinkovým modelem, takovou reprezentací jednotkových intervalových grafů, která se jeví užitečná při konstrukci různých algoritmů. Tento model rozšiřujeme na třídu smíšených intervalových grafů. Původní bublinkový model využili autoři Boyaci, Ekim a Shalom, kteří s jeho pomocí dokazovali, že problém největšího řezu v jednotkovém intervalovém grafu je polynomiální. V jejich důkazu jsme však objevili nejspíše neopravitelnou chybu. Dalším přínosem práce jsou ukázky využití našeho rozšířeného bublinkového mod- elu, na němž stavíme subexponenciální algoritmus pro problém největšího řezu...

Interval graphs, intersection graphs of segments on a real line (intervals), play a key role in the study of algorithms and special structural properties. Unit interval graphs, their proper subclass, where each interval has a unit length, has also been extensively studied. We study mixed unit interval graphs-a generalization of unit interval graphs where each interval has still a unit length, but intervals of more than one type (open, closed, semi-closed) are allowed. This small modification captures a much richer class of graphs. In particular, mixed unit interval graphs are not claw-free, compared to unit interval graphs. Heggernes, Meister, and Papadopoulos defined a representation of unit interval graphs called the bubble model which turned out to be useful in algorithm design. We extend this model to the class of mixed unit interval graphs. The original bubble model was used by Boyaci, Ekim, and Shalom for proving the polynomiality of the MaxCut problem on unit interval graphs. However, we found a significant mistake in the proof which seems to be hardly repairable. Moreover, we demonstrate advantages of such model by providing a subexponential-time algorithm solving the MaxCut problem on mixed unit interval graphs using our extended version of the bubble model. In addition, it gives us a polynomial-time...